Cycles of pairing-friendly elliptic curves and their applications in cryptography

Tomáš Novotný

Bachelor's thesis

Anotácia:

Moderní zero-knowledge protokoly zk-SNARKs využívají 2-cykly eliptických křivek, kde často požadujeme, aby příslušné křivky byly pairing-friendly a měly vysokou 2-adicitu. Jediné známé pairing-friendly cykly pocházejí z rodin MNT4 a MNT6; ty však nejsou dostatečně efektivní. V práci ukazujeme, že 2-cyklus obsahující MNT3 křivku nemůže být pairing-friendly; pro další rodiny máme podobný výsledek pro kryptograficky zajímavé velikosti. V protokolech je tedy potřeba zvolit jinou metodu tvorby pairing-friendly 2-cyklů. Také popisujeme 2-adicitu všech známých rodin pairing-friendly křivek prvočíselného řádu.

Abstract:

Modern zk-SNARK protocols use 2-cycles of elliptic curves, where we often require that the curves are pairing-friendly and have a high 2-adicity. The only known pairing-friendly cycles come from the MNT4 and MNT6 families; however, they are ineffective. This work shows that a 2-cycle containing an MNT3 curve cannot be pairing-friendly; for other families, we have a similar result for cryptographically attractive field sizes. Therefore, it is necessary to choose another method of creating pairing-friendly 2-cycles in these protocols. We also describe the 2-adicity of all known pairing-friendly families of prime-order curves.

Keywords

elliptic curve, elliptic curve cycle, family of elliptic curves, cyclotomic polynomial, zk-SNARK

Jazyk práce: English

Datum vytvoření / odevzdání či podání práce: 25. 5. 2021

Obhajoba závěrečné práce

• Obhajoba proběhla 29. 6. 2021
• Vedúci: RNDr. Vladimír Sedláček
• Oponent: Mgr. Marek Sýs, Ph.D.

Masaryk University

Faculty of Informatics

Bachelor programme / odbor:
Informatics / Mathematical Informatics