Algoritmy pro výpočet Smithova normálního tvaru

Mgr. Jan Plhák

Bachelor's thesis

Algorithms for computing the Smith normal form

Abstract:

V této bakalářské práci se věnujeme algoritmům pro výpočet Smithova normálního tvaru celočíselných matic, který nalézá uplatnění například při řešení soustav celočíselných rovnic nebo při počítání simpliciálních homologií. Protože v průběhu výpočtu Smithova normálního tvaru můžeme už pro malé matice narazit na problémy s bitovou délkou mezivýsledků, uvádíme zde algoritmus, pro nějž odvozujeme odhad na mezivýsledky. Tento algoritmus modifikujeme tak, abychom mohli s využitím Čínské zbytkové věty garantovat dostatečně malou bitovou délku mezivýsledků. Modifikace algoritmu navíc umožní jistou míru paralelizace výpočtu.

Abstract:

In this thesis we study algorithms for computing the Smith normal form of integer matrices which can be used to solve systems of linear Diophantine equations or in the process of computing simplicial homology groups. In the computation of the Smith normal form, even for small matrices, one can easily run into problems with the bit length of intermediate results. For that reason we introduce a refined algorithm and present bounds on its intermediate results. This algorithm is then modified using the Chinese reminder theorem to provide reasonably small bounds on the bit length of intermediate results. This modifications also allows a certain level of parallelization.

Keywords

Smithův normální tvar, Redukovaný schodovitý tvar, Algoritmus, Bachovo lemma, Čínská zbytková věta, Paralelizace, Smith normal form, Row reduced echelon form, Algorithm, Bach's lemma, Chinese remainder theorem, Parallelization

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 28. 5. 2015

Thesis defence

• Date of defence: 22. 6. 2015
• Supervisor: Bc. Lukáš Vokřínek, PhD.
• Reader: Mgr. Jaroslav Šeděnka

Masaryk University

Faculty of Science

Bachelor programme / field:
Mathematics / Mathematics