Difuzní procesy se skoky

Bc. Jana Benková

Master's thesis

Jump diffusion processes

Abstract:

In this thesis we study the jump diffusion processes. We have mainly focused on the Merton’s jump-diffusion process, which continuous part is the geometric Brownian motion and the jump element is the Poisson compound process, as well as the jump element in the second described process, which continuous part is formed by the Ornstein-Uhlenbeck process. Firstly, we described the basic random processes and the tools from stochastic analysis used with them. Then, we used the Merton’s jump-diffusion process for option pricing, when underlying stock returns are discontinuous and we derived the basic characteristics of Ornstein-Uhlenbeck's jump diffision process. Further, we investigated the derived relationships with a simulation study. In usage of real data, it would be necessary to estimate the parameters of the used processes. Therefore, at the end of the thesis, we presented jump density estimation in the Poisson compound process.

Abstract:

V tejto diplomovej práci sa venujeme difúznym procesom so skokmi. Zamerali sme sa konkrétne na Mertonov difúzny proces so skokmi, ktorého spojitú časť tvorí geometrický Brownov pohyb a skokovú časť tvorí Poissonov zložený proces, rovnako ako pri ďalšom uvažovanom procese, ktorého spojitá časť je tvorená Ornstein-Uhlenbeckovým procesom. Najskôr sme popísali základné náhodné procesy a nástroje stochastickej analýzy používané pri práci s nimi. Mertonov difúzny proces sme potom využili pri ocenení opcií na akciu s nespojitým výnosom a pri Ornstein-Uhlenbeckovom procese so skokmi sme odvodili základné charakteristiky. Odvodené vzťahy sme ďalej preskúmali simulačnou štúdiou. Pri použití reálnych dát by bolo nutné odhadovať parametre použitých procesov. V závere práce sme preto predstavili odhad hustoty rozdelenia veľkosti skokov v Poissonovom zloženom procese.

Kľúčové slová

Náhodný proces, Poissonov zložený proces, Geometrický Brownov pohyb, Ornstein-Uhlenbeckov proces, Difúzne procesy so skokmi, Mertonov proces, Lévyho procesy, Stochastic process, Poisson compound process, Geometric Brownian motion, Ornstein-Uhlenbec process, Jump diffusion processes, Merton's process, Lévy processes

Jazyk práce: Slovak

Datum vytvoření / odevzdání či podání práce: 30. 4. 2019

Obhajoba závěrečné práce

• Obhajoba proběhla 12. 6. 2019
• Vedúci: Mgr. Ondřej Pokora, Ph.D.
• Oponent: Mgr. David Kraus, Ph.D.

Masaryk University

Faculty of Science

Master programme / odbor:
Mathematics / Finance Mathematics