Dynamické rovnice se smíšenými derivacemi

Mgr. Daniel Marek, Ph.D.

Doctoral thesis

Dynamic Equations with Mixed Derivatives

Abstract:

Výsledky dizertační práce lze rozdělit do dvou částí. V první z nich se zabýváme studiem oscilační teorie pololineární dynamické rovnice druhého řádu se smíšenými derivacemi (v notaci LaTeXu) (r(t)\Phi(x^\Delta))^\nabla +c(t)\Phi(x)=0, kde \Phi(x)=|x|^{p-1}\sgn(x), p>1. Pro tuto rovnici formulujeme tzv. Roundabout theorem, kterou následně využijeme k důkazu několika oscilačních a neoscilačních kritérií dané rovnice. Druhým tématem práce je vyšetřování určitých dynamických rovnic sudého řádu. Cílem práce je dokázat, že tyto rovnice jsou formálně samoadjungované, a že je můžeme ekvivalentně vyjádřit ve formě tzv. delta nebo nabla symplektických systémů.

Abstract:

The thesis consists essentially of two parts. The first one deals with oscillation theory of the half-linear second order dynamic equation with mixed derivatives (in LaTeX notation) (r(t)\Phi(x^\Delta))^\nabla +c(t)\Phi(x)=0, where \Phi(x)=|x|^{p-1}\sgn(x), p>1. It is established the so-called Roundabout theorem for this equation and this theorem is used to prove several oscillation and nonoscillation criteria for this equation. The second part is devoted to the investigation of certain even order dynamic equations. It is shown that these equations are formally self-adjoint and that they can be written in the form of the so-called delta and nabla symplectic systems.

Keywords

time scales, dynamic equations, dynamické rovnice, Roundabout theorem, Picone's identity, Piconeho identita, symplectic systems, symplektické systémy, self-adjointness, samoadjungovanost

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 3. 1. 2008

Thesis defence

• Date of defence: 21. 1. 2008
• Supervisor: prof. RNDr. Ondřej Došlý, DrSc.
• Reader: doc. RNDr. Jan Čermák, CSc., prof. RNDr. Jaroslav Jaroš, CSc.

Masaryk University

Faculty of Science

Doctoral programme / field:
Matematics (4-years) / Mathematical Analysis