Matroid Based Approach to Matrix Sparsification

Bc. Kristýna Pekárková

Master's thesis

Abstract:

Celočíselného programování je jednou z nejvýznamnějších oblastí diskrétní optimalizace. Je známo, že tento problém je výpočetně těžký, výzkum se tedy soustředí na hledání vstupních instancí, na kterých je celočíselné programování efektivně řešitelné. Koutecký, Levin and Onn [ICALP'18] dokázali, že celočíselné programování je parametrizovatelné duální stromovou hloubkou a složitostí prvků matice. Tato parametrizace má však nevýhodu: stromová hloubka se mění s řádkovými operacemi nad maticí, a tak se i pro dvě řádkově ekvivalentní matice může algoritmus chovat rozdílně. Tato práce se zaměřuje na to, jak tento nedostatek překonat. Dokazujeme, že větvící hloubka (branch-depth) matice je ekvivalentní minimální stromové hloubce přes všechny řádkově ekvivalentní matice, a prezentujeme také algoritmus pro výpočet větvící hloubka matroidů reprezentovatelných nad konečnými tělesy. Důsledkem je, že celočíselné programování je parametrizovatelné větvící hloubkou a složitostí prvků matice úlohy.

Abstract:

Integer programming is an important problem in discrete optimization. As it is known to be computationally hard in general, significant attention has been paid to finding instances that can be solved efficiently. Koutecký, Levin and Onn [ICALP'18] proved that integer programming is fixed parameter tractable when parameterized by the constraint matrix dual tree-depth and the entry complexity. However, this parameterization has a drawback: matrix tree-depth is not invariant under row operations, and for two equivalent matrices, the algorithm may behave differently. In this thesis, we focus on overcoming this disadvantage. In particular, we show that matrix branch-depth is equal to minimum dual tree-depth over all matrices that are row-equivalent, and present a fixed parameter tractable algorithm for computing branch-depth of matroids representable over finite fields. As a corollary, we show that integer programming is fixed-parameter tractable when parameterized by the branch-depth and the entry complexity of the constraint matrix.

Keywords

graphs, matroids, combinatorics, combinatorial optimization, integer programming, parameterized complexity, fixed parameter tractability, tree-depth, branch-depth

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 18. 5. 2021

Thesis defence

• Date of defence: 21. 6. 2021
• Supervisor: prof. RNDr. Daniel Kráľ, Ph.D.
• Reader: prof. RNDr. Petr Hliněný, Ph.D.

Masaryk University

Faculty of Informatics

Master programme / field:
Theoretical computer science / Principles of programming languages