Dělitelnost v různých oborech integrity

Michaela TÁBOROVÁ

Bachelor's thesis

Divisibility in various integer domains

Abstract:

Dělitelnost je jedna z důležitých odvětví matematiky. Tato bakalářská práce se věnuje dělitelnosti z pohledu celých čísel, Gaussových celých čísel a polynomů. Práce je členěna do 6 kapitol. První kapitola popisuje algebraické struktury, vymezuje jednu ze základních algebraických struktur, kterou je obor integrity. Druhá kapitola obsahuje obecnou definice dělitelnosti, dále významné prvky algebraických struktur a následnou aplikaci na vybrané obory integrity z hlediska dělitelnosti. Ve třetí kapitole jsou vymezeny kritéria dělitelnosti, zejména pak znaky dělitelnosti na množině celých čísel. Čtvrtá kapitola pojednává o pojmu ireducibilního prvku a prvočísla. Je zde popsáno, jak se zjistí prvočíselnost daného prvku pomocí znaků dělitelnosti či Eratosthenova síta. Součástí této kapitoly je rozklad prvku v součin ireducibilních prvků. V páté kapitole je popsán společný dělitel prvků a největší společný dělitel prvků. Je zde uveden Euklidův algoritmus, který je vhodným způsobem pro zjišťování největšího společného dělitele. V neposlední řadě šestá kapitola pojednává o společném násobku a nejmenším společným násobku.

Abstract:

Divisibility is one of the most important parts of mathematics. This bachelor thesis focuses on divisibility of integers, Gaussian integers and polynomials. The thesis is divided into 6 chapters. First chapter describes the algebraic structures, defines one of the basic algebraic structures which is the integral domain. Second chapter contains a general definition of divisibility, important elements of algebraic structures and subsequent application to selected integral domains in terms of divisibility. Third chapter defines the divisibility criteria, especially the divisibility characters of integers. Fourth chapter deals with the concept of irreducible element and prime number. It describes, how the primality od specific elements is determined using the divisibility characters of the sieve of Eratosthenes. Part of this chapter is also the decomposition of the element into the product of irreducible elements. Fifth chapter describes the common divisor of elements and the greatest common divisor. In this chapter is presented Euclidean algorithm which is a suitable way to find the greatest common divisor. Finally, the sixth chapter deals with a common multiple and the least common multiple.

Keywords

dělitelnost, jednotkový prvek, asociovaný prvek, euklidovská norma, znaky dělitelnosti, prvočísla, největší společný dělitel, nejmenší společný násobek

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 26. 4. 2019

Accessible from:: 31. 12. 2999

Thesis defence

• Supervisor: PhDr. Lukáš Honzík, Ph.D.

University of West Bohemia

Faculty of Education

Bachelor programme / field:
Natural Science Studies / Studies in Mathematics