Lambda-moduly

Bc. Jana Medková

Master's thesis

Lambda-modules

Abstract:

Práce se zabývá strukturou konečně generovaných Lambda-modulů, což jsou moduly nad okruhem formálních mocninných řad nad okruhem celých p-adických čísel. V první kapitole je definován pojem okruh celých p-adických čísel a jsou uvedeny některé jeho vlastnosti, které budou potřeba později v práci. Druhá kapitola se věnuje okruhům formálních mocninných řad. Je v ní definován pojem okruhu formálních mocninných řad nad okruhem R a odvozena některá tvrzení, která platí, pokud tento okruh uvažujeme nad okruhem celých p-adických čísel, zejména, že každý nenulový prvek tohoto okruhu lze jednoznačně zapsat jako součin mocniny p, distinguovaného polynomu a jednotky tohoto okruhu. Ve třetí kapitole je definována relace pseudoizomorfismu, ukázány některé její vlastnosti a s pomocí výsledků předchozích dvou kapitol dokázáno tvrzení, že konečně generované Lambda-moduly jsou pseudoizomorfní součtu konečně mnoha vhodných modulů, přičemž sčítance mohou nabývat pouze jednu ze tří možných podob. V poslední, čtvrté, kapitole je naznačeno, jak se toto tvrzení používá v důkazu Iwasawovy věty.

Abstract:

In this work, we look into the structure of finitely generated Lambda-modules, which are modules over the ring of formal power series over the ring of p-adic integers. The first chapter contains the definition of the ring of p-adic integers and some of its properties, which will be used later in the work. The second chapter works with the ring of formal power series. It contains the definition of the ring of formal power series over a ring R and some properties which holds for this ring if the ring of formal power series is considered over the ring of p-adic integers, in particular it is shown that every non-zero element of the ring is the product of a power of p, a distinguished polynomial and a unit of the ring. In the third chapter a relation of pseudoisomorphism is defined, some of its properties are shown and results of the first two chapters are then used to prove that finitely generated Lambda-modules are pseudoisomorphic to a finite sum of suitable modules, which are of one of three possible forms. In the last chapter it is sketched how this property is used to prove Iwasawa theorem.

Keywords

Lambda-modul, okruh formálních mocninných řad, celá p-adická čísla, pseudoizomorfismus, Iwasawova věta, Lambda-module, formal power series ring, p-adic integers, pseudoisomorphism, Iwasawa theorem

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 9. 1. 2013

Thesis defence

• Date of defence: 5. 2. 2013
• Supervisor: prof. RNDr. Radan Kučera, DSc.
• Reader: Mgr. Michal Bulant, Ph.D.

Masaryk University

Faculty of Science

Master programme / field:
Mathematics / Algebra and Discrete Mathematics