Iterované hranové grafy a hamiltonovský hranol

Aleš PECKA

Bachelor's thesis

Iterated Line Graphs and Hamiltonian Prism

Abstract:

Hranol grafu G je kartézský součin grafu G a úplného grafu na dvou vrcholech. V této práci jsou shrnuty dosavadní známé výsledky o existenci hamiltonovské kružnice v hranolu grafu. Sudý kaktus Q je prostý souvislý graf na alespoň dvou vrcholech, jehož každá hrana leží nejvýše na jedné kružnici a každá kružnice v Q má sudou délku. V této práci jsou charakterizovány sudé kaktusy, jejichž hranol je hamiltonovský. V této práci jsou také shrnuty známé věty a hypotézy o existenci hamiltonovské kružnice v hranovém grafu a o dolních a horních odhadech hamiltonovského indexu. Nechť G je graf. Kaiser a kol. dokázali, že postačující podmínkou pro existenci hamiltonovské kružnice v hranolu hranového grafu L(G) je 2-souvislost hranového grafu L(G). V této práci je dokázána podmínka nutná. Pokud G je strom, potom je tato nutná podmínka i postačující. Dále je zde uvedena hypotéza, která říká, že druhý iterovaný hranový graf souvislého grafu s alespoň třemi hranami má hamiltonovský hranol.

Abstract:

The prism over a graph G is the Cartesian product of G and the complete graph on two vertices. In this thesis there are summarized known results on the existence of a hamiltonian cycle in prisms over graphs. An even cactus Q is a simple connected graph on at least two vertices such that every edge of Q lies on at most one cycle and every cycle in Q has an even length. In this thesis a characterization of even cactuses with hamiltonian prism is given. In this thesis there are also summarized known theorems and conjectures on hamiltonicity of line graphs and lower and upper bounds of the hamiltonian index. Let G be a graph. Kaiser et al. state that a sufficient condition for the line graph of G to have the hamiltonian prism is 2-connectivity of the line graph. A necessary condition is shown here. The necessary condition is also sufficient whenever G is a tree. The author of this thesis conjectured that the prism over any 2-iterated line graph of a connected graph with at least three edges is hamiltonian.

Keywords

Hamiltonovská kružnice, hamiltonovský index, hranol grafu, iterované hranové grafy, kaktus.

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 8. 8. 2011

Accessible from:: 8. 8. 2011

Thesis defence

• Date of defence: 1. 9. 2011
• Supervisor: RNDr. Jan Ekstein, Ph.D.

University of West Bohemia

Faculty of Applied Sciences

Bachelor programme / field:
Mathematics / General Mathematics