"Batman decomposition" symetrické indefinitní matice

Kateřina Stolínová

Bachelor's thesis

``Batman decomposition" of a symmetric indefinite matrix

Abstract:

V práci nejprve zopakujeme vybrané základních pojmy, zejména vlastní čísla symetrických(obecně indefinitních) matic a kvadratické formy. Pak se zaměříme na vybrané zajímavé podprostory týkající se symetrických matic. Konkrétně tzv. nulový prostor, neutrální podprostor, nezáporný a nekladný podprostor. V práci ukážeme, že ne všechny tyto podprostory jsou dány jednoznačně, ale vždy je umíme zvolit tak, že např. první tři zmiňované jsou postupně svými podprostory. Toho využijeme k volbě vhodné ortonormální báze těchto podprostorů a jejich ortogonálních doplňků. Nakonec ukážeme, že takto zkonstruovaná báze (po drobných úpravách), resp. ortogonální matice, která má tyto bázové vektory jako sloupce, transformuje původní symetrickou matici na tzv. dolní blokově antitrojúhelníkový tvar. Odpovídající rozklad nazýváme Batman decomposition.

Abstract:

At first we recapitulate some basic concepts such as eigenvalues of symmetric (in general indefinite) matrices and quadratic forms. Then, we focuse mainly on selected interesting subspaces related to symmetric matrices. Specifically, the so-called null-space, neutral subspace, nonnegative, and nonpositive subspaces. In the thesis we show that not all of these subspaces are given uniquely, in general, but we are always able to choose them in such a way that, e.g. the first three of above mentioned spaces are nested. We will use that for a choice of suitable orthonormal basis of these subspaces and their orthogonal complements. Finally, we show that a basis constructed like that (after small modifications), more precisely the orthogonal matrix having those basis vectors as columns, transforms original symmetric matrix into so-called lower block antitriangular form. We call the corresponding decomposition the Batman decomposition.

Keywords

symetrická matice, kvadratická forma, definitnost, vlastní čísla, inercie, Batman decompostion (rozklad zobrazující inercii)

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 30. 4. 2018

Thesis defence

• Supervisor: Ing. Martin Plešinger, Ph.D.

Technical University of Liberec

Faculty of Science, Humanities and Education

Bachelor programme / field:
Mathematics / MA-AJ