Promítání na konvexní množiny

Bc. Jiří JANEČEK

Master's thesis

Projection onto Convex Sets

Abstract:

Tato diplomová práce nejprve připomene pojmy normy, konvexní množiny a další pojmy vztahující se k reálným normovaným prostorům. Poté bude čtenář, u něhož předpokládáme znalost základních pojmů a vět z oblasti matematického programování, seznámen s jistou úlohou matematického programování, a to s úlohou, která těsně souvisí s promítáním a vzdálenostmi v reálném normovaném prostoru. Následně bude vybudována teorie duality tím, že bude formulována další úloha, a tím, že bude ukázáno, že představené úlohy jsou navzájem duální. Bude zavedena a dokázána podmínka optimality pro zjednodušený tvar prvotní úlohy. Na závěr tato práce demonstruje využití úloh promítání na konvexní množiny při řešení soustav lineárních rovnic či nerovnic. Tvary zde použitých úloh jsou převzaty z Daxova článku z roku 2006. Naopak aplikace těchto úloh při rozhodovací situaci jsou nové.

Abstract:

At the beginning, this thesis will recall some concepts such as norm, convex set and others related to real normed spaces. Then, the reader, who is supposed to have knowledge of basic concepts and theorems from the branch of mathematical programming, will get acquainted with a mathematical programming problem, in particular a problem closely connected with projection and distance in a real normed space. Afterwards, the duality theory is established by formulating another problem and showing that the latter one is the dual problem of the former one. The optimality condition for a simplified form of the primal problem will be given and proved. At the end, this thesis will demonstrate the application of the projection onto convex set problems in the process of solving a system of linear equalities or inequalities. The forms of the problems presented here are adopted from Dax's article published in 2006. The applications of those problems in the case of decision situation are new.

Keywords

konvexní množina, norma, matematické programování, teorie duality, soustava lineárních (ne)rovnic

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 18. 4. 2017

Thesis defence

• Supervisor: prof. RNDr. Olga Rossi, DrSc.

University of Ostrava

Faculty of Science

Master programme / field:
Applied Mathematics / Applied Mathematics