Symplektické diferenční systémy

Bc. Kateřina Družbíková

Master's thesis

Symplectic Difference Systems

Abstract:

Tato diplomová práce se věnuje teorii symplektických diferenčních systémů. Úvodní část je zaměřena na Sturmovu-Liouvilleovu diferenční rovnici druhého řádu, především na její základní vlastnosti, podobnost s příslušnou diferenciální rovnicí a odvození Riccatiho diferenční rovnice. Ta úzce souvisí s jednorozměrným kvadratickým funkcionálem a s oscilačními vlastnostmi Sturmovy-Liouvilleovy rovnice. Další část této práce představuje zobecnění úvodní kapitoly, neboť se věnuje symplektickým diferenčním systémům. Pojmy jako symplektická matice nebo konjugovaná báze hrají podstatnou roli v celém textu. Poslední kapitola je zaměřena na poměrně novou teorii fokálních bodů. Nejdůležitějším výsledkem této diplomové práce je souvislost počtu a násobnosti fokálních bodů s pojmem komparativního indexu.

Abstract:

This thesis is dedicated to the theory of symplectic difference systems. The introductory part is focused on Sturm-Liouville second-order difference equation, in particular its main properties, the similarity with the appropriate differential equation and the derivation of Riccati difference equation. The latter is closely related to the one-dimensional quadratic functional and oscillation properties of Sturm-Liouville equation. The next section of this thesis represents a generalization of the first part, as it is dedicated to symplectic difference systems. Concepts such as symplectic matrix or conjoined basis play the main role in the whole text. The final section is focused on relatively new theory of focal points. The most important result of this thesis is the relationship between the number and multiplicity of focal points and the concept of comparative index.

Keywords

Sturmova-Liouvilleova diferenční rovnice 2. řádu, symplektický diferenční systém, symplektická matice, Riccatiho rovnice, konjugovaná báze, zobecněný nulový bod, kvadratický funkcionál, diskonjugovanost, fokální bod, komparativní index, Sturm-Liouville second-order difference equation, symplectic difference system, symplectic matrix, Riccati equation, conjoined basis, generalized zero, quadratic functional, disconjugacy, focal point, comparative index

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 7. 5. 2014

Thesis defence

• Date of defence: 18. 6. 2014
• Supervisor: prof. RNDr. Ondřej Došlý, DrSc.
• Reader: prof. RNDr. Roman Šimon Hilscher, DSc.

Masaryk University

Faculty of Science

Master programme / field:
Mathematics / Statistics and Data Analysis