Řídké matice a jejich použití

RNDr. Jan Tomšík

Bachelor's thesis

Sparse matrices and their usage

Abstract:

Tato bakalářská práce se zabývá problematikou řídkých matic a jejich použití. Pro pojem řídká matice existuje několik definic. Matice je řídká, pokud obsahuje 5 % nenulových prvků. Matice je řídká, pokud při používání speciálních technik ušetříme prostor a čas při řešení úloh. Avšak pro tento pojem neexistuje nějaká poctivá matematická definice, kterou by matematický svět očekával. Přesto jsou řídké matice hojně používány v mnoha oblastech matematiky. Tato práce je rozdělena do čtyř částí. V první části jsou uvedeny základní techniky pro ukládání řídkých matic do paměti počítače a ukázky příkazů pro zacházení s řídkými matici v programovacím jazyce R. Druhá část zahrnuje známé přímé metody pro řešení soustav lineárních rovnic, Gaussovu a Gaussovu - Jordanovu eliminaci. Metody využívající speciálních rozkladů matice soustavy lineárních rovnic - Croutovu a Choleského metodu - jsou uvedeny ve třetí části. V této části jsou rovněž i grafové algoritmy, které upravují vhodným způsobem graf příslušný k řídké matici. V poslední části jsou pak uvedeny některé další třídy řídkých matic v programovacím jazyce R a ukázky funkcí, které se používají pro určení řešení velkých řídkých soustav lineárních rovnic.

Abstract:

This bachelor's work describes theme of sparse matrices a their usage. There are several definitions for sparse matrix. If a matrix contains 5 % nonzero elements the matrix is sparse. The matrix is sparse if we save up space and time for finding of solution of problems during using special techniques. But there is not any honest mathematical definition which mathematical world would await. Although sparse matrices are often used in many fields of mathematics. This work is divided into four parts. In the first part there are mentioned basic techniques for storing of sparse matrices into computer's memory and demonstration of commands for usage with sparse matrices in program language R. The second part contains direct methods for finding of solutions of systems of linear equations, Gauss and Gauss - Jordan eliminations. The third part includes methods which use special decompositions of matrix of system of linear equations - Crout and Cholesky methods. There are some graph's algorithms which rearrange the graph corresponding the sparse matrix too. In the last part some classes of sparse matrices and functions, which are used to finding of solution of sparse systems of linear equations, are mentioned.

Keywords

řídké matice, Gaussova eliminace, Gaussova-Jordanova eliminace výplň, Croutova metoda, Choleského metoda, grafy, sparse matrices, Gauss elimination, Gauss-Jordan elimination, fill-in, Crout method, Choleski method, graphs

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 29. 5. 2012

Thesis defence

• Date of defence: 27. 6. 2012
• Supervisor: Mgr. Jiří Zelinka, Dr.
• Reader: Mgr. Bc. Iveta Selingerová, Ph.D.

Masaryk University

Faculty of Science

Bachelor programme / field:
Mathematics / Mathematics