Postupy založené na bootstrapu v modelech extrémních událostí

RNDr. Václav Kohout

Doctoral thesis

Bootstrap based procedures in the model of extreme events

Abstract:

Teorie extrémních hodnot je v současné době aplikována v mnoha oblastech, které se dotýkají běžného denního života. Velmi intenzivně jsou využívány například v klimatologii, kdy se snažíme odhadnout nejvyšší kvantily např. průtoku vody, teplotu ovzduší. Proto abychom mohli takovéto jevy exaktně popsat, vytváříme statistické modely, které jsou závislé na hodnotách parametrů výsledné limitní náhodné veličiny. V takových případech se v odpovídajících modelech, které jsou vytvářeny především pomocí pravděpodobnostních rozděleních, zajímáme spíše o chvosty těchto rozdělení než o jejich centrální části.V teorii extremálních hodnot se touto problematikou zabývá tzv. věta Fisher - Tippet - Gnědenko - de Haan. Je známo, že limitní náhodná veličina je tříparametrické extremální rozdělení tzv. zobecněné rozdělení extrémních hodnot. Pro vyšetřování extrémních událostí je důležitý především "shape" parametr, který lze popsat pomocí EVI (extremal value index). Proto jsou tak významné odhady tohoto indexu. Pomocí znalosti tohoto indexu můžeme popsat, jak jsou těžké chvosty rozdělení výsledné distribuční funkce limitní náhodné veličiny. V práci se zabýváme především semiparametrickými odhady EVI, které jsou založeny na k nejvyšších pořádkových statistikách. Systematicky u každého odhadu ukazujeme jeho tvorbu a základní vlastnosti od konzistence až po asymptotickou normalitu. Práce byla zaměřena na využití metody bootstrap při tvorbě těchto odhadů, proto metodu bootstrap zavádíme a obecně studujeme. Dále uplatňujeme pro každý odhad tzv. bootstrapovou metodu "optimal sample fraction", která nám umožní nalézt optimální volbu hodnoty k a tím i hodnotu EVI. Pro základní odhady EVI jsme prostudovali a zjednodušili algoritmy metody "optimal smaple fraction". Zjistili jsme, jaké jsou její optimální vstupní hodnoty, aby výsledek byl zpracován v co možná nejkratším čase a zároveň přesně. Kromě klasických odhadů EVI jsme se zabývali také odhady, které jsou souhrnně nazývány MVRB(Minimum-Variance reduced-Bias) a PORT(Peaks over Random Treshold). Pro třídu těchto odhadů jsme také připravili bootstrapové algoritmy. Výsledky výše uvedené jsme aplikovali pro případ kvantilové regrese. Využili jsme poznatky uvedené v Dienstbier (2011) a pomocí vět 5.8 - 5.10 jsme mohli na danou situaci použít metodu "optimal sample fraction" na odhad typu Pickands. Výsledkem bylo nalezení odhadu EVI chyby v regresním lineárním modelu (předpokládáme, že tato chyba pochází z rozdělení z Frechetovy sféry přitažlivosti). Pro další práci je možné vylepšovat stávající algoritmy a především aplikovat metodu "optimal sample fraction" na další typy odhadů EVI.

Abstract:

Nowadays, the extreme value theory is applied in many fields that are related to everyday life. For example, it is very often used in climatology, where the aim is to estimate high quantiles of a water discharge, air temperate etc. To describe such events we build statistical models which depend on unknown parameters of the limit random variable. In these probability distribution models we are interested rather in the tails of these distributions than in their central parts. In the extreme value theory this problem is treated by the Fisher ? Tippet ? Gnědenko ? de Haan theorem. It is known that the resulting distribution is the generalized extreme value distribution which is a distribution with three parameters. For the description of extremal events the shape parameter is of the highest interest. This parameter can be described by extreme value index (EVI). That makes the estimation of this index very important. Using this index we can quantify the thickness of the tails of the limit distribution function. This work is devoted to the semiparametric estimation of EVI which is based on the k highest order statistics. For each estimate we show its construction and its basic properties as its consistency or asymptotic normality. The work is focused on application of bootstrap methods for estimation. That is why the bootstrap methods are introduced and studied as well. We apply a bootstrap method called ?optimal sample fraction? that allows us to find the optimal choice of value k as well as EVI. We studied and simplified the algorithms of the ?optimal sample fraction? method for basic EVI estimations. We found out what are its optimal initial values for the result to be processed as fast and exact as possible. Besides the EVI estimation we deal with so called MVRB (minimum-variance reduced-bias) and PORT (peaks over random treshold) estimators. Also we developed bootstrap algorithms for the class of these estimators. The above mentioned results were applied in a linear regression model. In the future the current algorithms can be improved or the ?optimal sample fraction? method can be applied on other types of EVI estimators.

Keywords

Teorie extrémních hodnot, EVI, metoda optimal sample faction, kvantilová regresní analýza, bootstrap

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 17. 2. 2017

Thesis defence

• Date of defence: 15. 5. 2017

Technical University of Liberec

Faculty of Science, Humanities and Education

Doctoral programme / field:
Applied mathematics / Mathematical models and their applications