Nespojitá Galerkinova metoda, její analýza a implementace do softwaru SfePy

Bc. Tomáš ZÍTKA

Master's thesis

Discontinuous Galerkin method, its analysis and implementation into SfePy package

Abstract:

This diploma thesis describes the theory behind the discontinuous Galerkin finite element method (DG FEM) and subsequently the implementation of the method into numerical software package SfePy (Simple finite elements in Python). SfePy uses the term based representation to specify a solved equation. Several new terms needed in DG FEM formulation were implemented along with an internal representation of the discretization. Namely the linear advection flux term, the general hyperbolic flux term, the diffusion flux term, and the diffusion penalty term. To enable solving transient equations two explicit time-stepping solvers, the forward Euler solver and the TVD Runge-Kutta of the 3rd order solver were implemented. Moreover, the moment limiters for 1D and 2D transient problems were also implemented. This implementation was then used in eight examples to test the convergence of the method and illustrate the effects and interactions of the diffusion penalty term and the limiter. The diffusion penalty term proves to be necessary to overcome the discontinuity of the method in problems that mandate a continuous solution. The limiter causes significant artificial diffusion but keeps oscillation occurring in the high order approximations manageable.

Abstract:

Tato diplomová práce popisuje teorii za nespojitou Galerkinovou metodou konečných prvků (DG MKP) a následně její implementaci do numerického software SfePy (Simple finite elements in Python). SfePy používá k reprezentaci řešených rovnic jednotlivé, předpřipravené integrální termy. Tato práce popisuje odvození a implementaci několika termů, potřebných k formulaci metody. Jmenovitě jde o lineární advekční term, obecný hyperbolický term, difuzní term a difuzní penaltový term. Spolu s nimi byla do SfePy přidána i potřebná vnitřní reprezentace diskretizace. Pro řešení tranzientních problémů jsou součástí implementace i dva explicitní časové řešiče: dopředný Eulerův řešič a~TVD Runge-Kutta třetího řádu. Pro použití v tranzientních problémech je určen tzv. momentový limeter implementovaný pro 1D problémy a 2D problémy s uniformní čtyřúhelníkovou sítí. Tato implementace byla následně použita k řešení osmi příkladů, na kterých testujeme konvergenci metody a vliv limiteru a penaltového členu. Penaltový člen se ukazuje jako nezbytný v problémech, které vyžadují spojité řešení. Limiter způsobuje značnou umělou difuzi avšak zabraňuje oscilacím, které se objevují u metod vyššího řádu.

Keywords

nespojitá Galerkinova metoda, metoda konenčých prvků, analýza konvergence, software pro numerické výpočty, Python, SfePy

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 20. 7. 2020

Accessible from:: 31. 12. 2999

Thesis defence

• Supervisor: Ing. Robert Cimrman, Ph.D.

University of West Bohemia

Faculty of Applied Sciences

Master programme / field:
Mathematics / Mathematics