LLL and quadratic forms

Bc. Viktorie Blahová

Bachelor's thesis

Anotácia:

Tato práce řeší problém nejkratšího vektoru mřížky hledáním minima kvadratických forem. Analyzujeme případy, kdy samotné minimum kvadratické formy nestačilo k najití nejkratšího vektoru. Dále analyzujeme Semaeův exaktní algoritmus pro dimenzi 3 a navrhujeme jeho modifikované rozšíření na libovolnou dimenzi. Jednu iteraci této modifikace pak ve zkrácené verzi aplikujeme na vstupní bázi LLL algoritmu a porovnáváme jeho rychlost oproti základní verzi LLL. Naše modifikace zvládla zkrátit počet iterací v dimenzi 20 o 18 %.

Abstract:

This thesis is solving the shortest lattice vector problem by finding the minimum of quadratic forms. We analyse cases where the minimum of the quadratic form alone is not sufficient to find the shortest vector. We also analyse Semaev's exact algorithm for dimension 3 and propose a modified extension for an arbitrary dimension. We then apply a single iteration of this modification to the input basis of the LLL algorithm and compare its speed against the base LLL version. Our modification managed to reduce the number of iterations in dimension 20 by 18 %.

Keywords

LLL algoritmus, mřížka, problém nejkratšího vektoru, Gramova matice, Semaeův algoritmus, LLL algorithm, lattice, shortest vector problem, Gram matrix, Semaev's algorithm

Jazyk práce: English

Datum vytvoření / odevzdání či podání práce: 6. 5. 2024

Obhajoba závěrečné práce

• Obhajoba proběhla 25. 6. 2024
• Vedúci: Mgr. Marek Sýs, Ph.D.
• Oponent: Mgr. Jan Jurka

Masaryk University

Faculty of Science

Bachelor programme / odbor:
Mathematics / Mathematics