Výlet do ergodické teorie

Jan NOVOTNÝ

Bakalářská práce

Journey to ergodic theory

Anotace:

Hlavním cílem je popsat některé zákonitosti dynamických systémů. Těžištěm práce jsou podrobné důkazy hlavních ergodických vět, jmenovitě Poincarého věty o rekurenci, maximální ergodické věty a Birkhoffovy ergodické věty. Dále je věnována pozornost struktuře prostoru invariantních měr spojitých transformací. Aplikační část obsahuje využití Birkhoffovy věty v teorii Markovových řetězců, teorii čísel a v důkazu Von Neumannovy věty. Teorie je prokládána vybranými příklady.

Abstract:

The purpose of this thesis is to discuss and explain the fundamentals of dynamical systems. Special emphasis is placed on demonstrating the most significant ergodic theory results, such as Birkhoff's ergodic theorem, Poincare's recurrence theorem and the Maximal ergodic theorem. We then look into the structure of invariant measures for continuous transformations, as well as how Birkhoff's ergodic theorem can be applied to number theory, Von Neumann's ergodic theorem and Markov chains. Examples are provided to illustrate the theory.

Klíčová slova

Birkhoffova věta, transformace zachovávající míru, ergodicita, Von Neumannova věta, Markovův řetězec

Jazyk práce: čeština

Datum vytvoření / odevzdání či podání práce: 17. 4. 2023

Obhajoba závěrečné práce

• Vedoucí: RNDr. Pavel Ludvík, Ph.D.

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

Přírodovědecká fakulta

Bakalářský studijní program / obor:
Matematika / Matematika