Konvergence Krylovovských metod pro maticové rovnice z pohledu hodnosti

Jana Lungová

Bachelor's thesis

Convergence of matrix-oriented Krylov-subspace methods in terms of rank

Abstract:

Bakalářská práce je zaměřena na řešení maticových rovnic z teorie řízení dynamických systémů, konkrétně se soustředí na tzv. ljapunovskou rovnici ve tvaru AX + XAT = F, kde A, X a F jsou čtvercové matice řádu n. Úlohy v praxi jsou velkých rozměrů ale matice A je zpravidla tzv. řídká. Řešení X tuto vlastnost ale obecně nemá. Může se tedy stát, že s ním nebudeme schopni pracovat nemusí být uložitelné v počítači. Pokud má pravá strana F nízkou hodnost, bude však řešení X možné aproximovat maticí nízké hodnosti budeme moci pracovat s tzv. low-rank aritmetikou. Úlohu budeme řešit iterační metodou (sdruženými gradienty). Práci s velkými maticemi budeme pouze simulovat budeme používat matice malé a bude nás zajímat numerická hodnost jednotlivých matic v průběhu iterací. Hlavním cílem je zjistit, kdy hodnosti matic zůstanou nízké po celou dobu a kdy hodnost exponenciálně narůstá, případně zda lze tomuto nárůstu nějakým způsobem zabránit.

Abstract:

The bachelor thesis is focused on solving matrix equations from control theory of dynamic systems and is specifically concentrating on the so-called Lyapunov equation in the form AX + XAT = F, where A, X and F are square matrices of order n. Realistic problems are of large dimensions but matrix A is usually so-called sparse. The solution X does not generaly have this property. So it can happen, that we may not be able to work with it it may not even be storable in computer. However, if the matrix F is of low-rank, then the solution X can be approximated by a low-rank matrix it is possible to use so-called low-rank arithmetic. For solving such problem we use an iterative method (the method of conjugate gradients). We will only simulate the computation with large matrices we use small matrices and study their numerical ranks during the iterative process. The main goal is to find out when the rank of all the matrices remains low and when it starts to grow exponentially, eventually whether this growth can be prevented in some way.

Keywords

ljapunovská rovnice, metoda sdružených gradientů (CG), low-rank aritmetika

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 20. 4. 2023

Thesis defence

• Supervisor: doc. Ing. Martin Plešinger, Ph.D.

Technical University of Liberec

Faculty of Science, Humanities and Education

Bachelor programme / field:
Mathematics / Mathematics