Sturmova teorie pro lineární diferenční rovnice druhého řádu

Bc. Jan Prokop

Master's thesis

Sturmian theory for second order linear difference equations

Abstract:

Tato diplomová práce se věnuje teorii symplektických diferenčních systémů a Sturmově oscilační teorii. Úvodní část je zaměřena na Sturmovu--Liouvilleovu diferenční rovnici druhého řádu a její oscilační vlastnosti na omezených a následně i na neomezených diskrétních intervalech, kde rozšiřuje výsledky publikované v \cite{studieSL}. Další část této práce představuje pojmy z maticového počtu jako jsou symplektické matice, Mooreova--Penroseova pseudoinverze a komparativní index. Následující část prezentuje zobecnění úvodních dvou kapitol a to pomocí základní teorie symplektických diferenčních systémů, kde jsou vlastnosti z úvodních kapitol rozšířeny do více dimenzí a je propojen matematický aparát z kapitoly týkající se komparativního indexu a základních pojmů týkající se symplektických diferenčních systémů. Poslední kapitola má za cíl transformovat teorii sympletických systémů v řeči komparativních indexů do jedné dimenze speciálně pro případ Sturmovy--Liouvilleovy rovnice. Výsledky z předchozích kapitol jsou zde vysloveny pro $n=1$.

Abstract:

This diploma thesis deals with the theory of symplectic difference systems and Sturm's oscillation theory. The introductory part is focused on the second-order Sturm--Liouville difference equation and its oscillatory properties on bounded and then unbounded discrete intervals, where it extends the results published in \cite{studieSL}. The next part of this thesis presents concepts from matrix calculus such as symplectic matrices, Moore--Penrose pseudoinverse and comparative index. The following section presents a generalization of the opening two chapters using the basic theory of symplectic difference systems, where the properties from the opening chapters are extended to more dimensions and the mathematical apparat from the chapter on the comparative index and basic concepts related to symplectic difference systems are connected. The last chapter aims to transform the theory of symplectic systems in the language of comparative indices into one dimension specifically for the case of the Sturm--Liouville equation. The results from previous chapters are stated here for $n=1$.

Keywords

Sturmova--Liouvilleova diferenční rovnice, Sturmova teorie, lineární diferenční rovnice 2. řádu, Riccatiho rovnice, symplektický diferenční systém, symplektická matice, komparativní index, Mooreova--Penroseova pseudoinverze, Sturmovy separační věty, Sturmovy srovnávací věty, recesivní řešení, hlavní řešení, zobecněný nulový bod

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 7. 5. 2024

Thesis defence

• Date of defence: 11. 6. 2024
• Supervisor: prof. RNDr. Roman Šimon Hilscher, DSc.
• Reader: doc. Mgr. Peter Šepitka, Ph.D.

Masaryk University

Faculty of Science

Master programme / field:
Applied Mathematics / Differential equations and their applications