Kvalitativní analýza nelineárních rovnic typu reakce-difuze

Bc. Martin KAISLER

Master's thesis

Qualitative analysis of nonlinear equations of reaction-diffusion type

Abstract:

Předkládaná práce je zaměřena na kvalitativní analýzu řešení systému semilineárních parabolických rovnic typu \begin{align} \begin{cases} \frac{\partial u_1}{\partial t} -\Delta u_1 = \lambda f_1(u_2) \tab &\text {v } \Omega_T,\\[7pt] \frac{\partial u_2}{\partial t} -\Delta u_2 = \lambda f_2(u_1) \tab &\text {v } \Omega_T,\\[4pt] u_1=u_2=0 \tab &\text{na } \partial \Omega_T,\\ u_1( x,0) = u_1^0 \tab &\text{v } \Omega,\\ u_2( x,0) = u_2^0 \tab &\text{v } \Omega, \end{cases} \end{align} kde $\Omega_T = \Omega \times (0,T),$ $T>0$ a $\Omega$ je omezená oblast v prostoru $\mathbb{R}^n$ s dostatečně hladkou hranicí, $f_1,\ f_2$ jsou superlineární reakční členy, $\lambda$ je reálný parametr a $u_1^0,u_2^0 $ jsou počáteční podmínky. Hlavním cílem práce je studovat lokální řešitelnost uvedené úlohy, zejména s ohledem na tzv. výbuch řešení v konečném čase. K tomuto účelu využíváme metodu horních a dolních řešení. Hlavní přínos práce je uveden v Kapitole 4, kde je odvozena postačující podmínka, při které studovaný jev nastane.

Abstract:

The thesis is devoted to the qualitative analysis of a semilinear system of heat equations \begin{align} \begin{cases} \frac{\partial u_1}{\partial t} -\Delta u_1 = \lambda f_1(u_2) \tab &\text {v } \Omega_T,\\[7pt] \frac{\partial u_2}{\partial t} -\Delta u_2 = \lambda f_2(u_1) \tab &\text {v } \Omega_T,\\[4pt] u_1=u_2=0 \tab &\text{na } \partial \Omega_T,\\ u_1( x,0) = u_1^0 \tab &\text{v } \Omega,\\ u_2( x,0) = u_2^0 \tab &\text{v } \Omega, \end{cases} \end{align} where $\Omega_T = \Omega \times (0,T),$ $T>0$ and $\Omega$ is a bounded domain in $\mathbb{R}^n$ with sufficiently smooth boundary, $f_1,\ f_2$ are super--linear reaction terms, $\lambda$ is real parameter and $u_1^0,u_2^0 $ are initial conditions. Mainly, we study the local solvability in classical sense of given problem, especially the so--called blow--up in finite time. The theory of lower and upper solutions is used for this purpose. The main contribution to the topic is included in Chapter 4, where a sufficient condition for such type of behaviour is derived.

Keywords

semilineární difuzní rovnice, výbuch v konečném čase, samovznícení, dolní řešení, horní řešení

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 18. 5. 2018

Accessible from:: 31. 12. 2999

Thesis defence

• Supervisor: Doc. Ing. Petr Girg, Ph.D.

University of West Bohemia

Faculty of Applied Sciences

Master programme / field:
Mathematics / Mathematics