Hierarchické matice: Moderní přístup k práci s velkými hustými maticemi

Barbora Košková

Bachelor's thesis

Hierarchical matrices: A contemporary approach for large-scale dense matrices

Abstract:

Tato bakalářská práce se zabývá problematikou práce s hustými maticemi pomocí konceptu tzv. hierarchických matic. Takové husté matice často vznikají např. jako inverze matic řídkých. Na příkladu třídiagonálních matic a s využitím jejich spektrálních vlastností ukážeme, že jejich hustá inverze má veškeré mimodiagonální bloky hodnosti nejvýše jedna. Toto pozorování lze v jistém smyslu zobecnit na řadu dalších řídkých matic, které můžeme nalézt v mnoha úlohách z reálného světa, fyzikálních, inženýrských, atd. V práci zavedeme koncept hierarchických matic, jejichž základním kamenem je stromová struktura (typicky např. binární strom, jak jej známe z teorie grafů), která popisuje rekurzivní členění matice na bloky. Dále se v práci soustředíme na základní operace s takovými maticemi. Ukážeme, v jakém smyslu je lze zejména sčítat a násobit. Hlavní nástroj, který při popisu operací používáme, je tzv. low-rank aritmetika matic. Ta využívá maticových rozkladů (zejména QR rozklad a singulární rozklad (SVD)) k chytré manipulaci s bloky nízké hodnosti a ke kompresi výsledku operací.

Abstract:

The bachelor thesis focuses on a work and manipulation with dense matrices using the concept of so-called hierarchical matrices. Such dense matrices often appear, e.g., as inversions of sparse matrices. On the example of tridiagonal matrices and by employing their spectral properties, we demonstrate that their dense inverses have off-diagonal blocks of a low rank (not more than one). This observation can be generalized to a lot of other cases of sparse matrices, which can be found in many real-world problems in physics, engineering, etc. In the thesis we introduce the concept of hierarchical matrices, where the key idea is the tree structure (e.g., a binary tree, which we know from graph theory) that describes a recursive partitioning of the matrix into blocks. We also focus on basic operations with these matrices. We show in which way it is possible to do the matrix addition and multiplication. The main tool that we use for describing these operations is so-called low-rank arithmetic of matrices. It employs matrix decompositions (especially the QR decomposition and singular value decomposition (SVD)) for smart manipulation with low-rank blocks and for compression of the result of operations.

Keywords

třídiagonální matice, vlastní čísla, husté matice, husté inverze řídkých matic, hierarchické matice, low-rank aritmetika matic, stromy (teorie grafů)

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 30. 4. 2018

Thesis defence

• Supervisor: Ing. Martin Plešinger, Ph.D.

Technical University of Liberec

Faculty of Science, Humanities and Education

Bachelor programme / field:
Mathematics / MA-AJ