Vyjádritelnost prirozených císel v nekterých speciálních tvarech a množiny nulových asymptotických hustot

Mgr. Pavel JAHODA

Disertační práce

Notes on the expression of natural numbers as sum of powers

Anotace:

Autor se zabývá problematikou vyjádřit elno sti přirozených č ísel v n ěkterý ch speciálních tvarech v souvislosti s pojmem asymptotické hustoty množiny A ~ N . Text je rozd ěl en do dvou kapitol plu s příloh a. První kapitola obsahuje n ěk teré známé výsledky z této problematiky a je ro zdě le n a do č ty ř ods tavc ů . V prvním odst avci jsou uvedeny základní poznatky o vyjádřitelno sti přirozených č í s e l ve tvaru souč tu, respektive rozdílu, dvou prvků z dané množiny A ~ N. Dále je zde bez důkazu uvedena Waringova vět a a věta Lagrangeova, z níž plyne, že množina přirozených čísel vyjádřitelných ve tvaru součtu čtyř druhých mocnin celých čísel má asymptotickou hustotu rovnu jedné. Odstavec 1.2 a 1.3 je věnován množin ě přirozených čísel vyj ádřitelných ve tvaru součtu dvou druhých mocnin celých č íse l D, respektive množině přirozených číse l vyjádřitelných ve tvaru sou čtu t ř í druhých mocnin celých čís e l T. Je zde uvedeno, která přirozená č ís la do t ě chto množin patří a fakt , že asymptotická hustota množiny D je rovna nule a asympto ti cká husto ta množiny T je rovna ~. Každý ty p v yjádř ení přirozeného č ís la indukuje množinu t ě ch přirozených č ís el, kteráje možno v tomto tvaru vyjádřit . Odstavec 1.4 pojednává o vyjádřeních přirozen ých č íse l, kt eré indukují množiny nulových asymptotických hus tot. Kapitola druhá se skládá z vlastních výs le d k ů autora a je č le ně n a do šesti odstavců. Odst avec 2.1 je založen na některých výsledcích autorova č lán ku [13]. Hlavním výsledkem tohot o odstavce je postačující podmínka pro nulovost asympto tické hustoty množiny přirozených čísel ve tvaru n~l +...+n':nm , kde kl , , km jsou daná přirozená č ísl a, ni ~ N U {O} , i = 1, ... ,m , (nI,"" nm ) =/:. (O, ,O). Výsledky z odstavce 2.1 jsou zobecněny pro případ množiny přirozených čísel ve tvaru součtu celých částí funkčních hodnot v odstavci 2.3, který vychází z výsledků autorova č l ánku [14]. V odstavci 2.2 jsou podrobněji prozkoumány vlastnosti určitého systému nadmnožin výše zmíněn é množiny D. S využitím t ě chto poznatků autor uvádí vlastní důkaz známého faktu , že asymptotická hustota množiny D je rovna nule. Inspirován vlastnostmi systému nadmnožin množiny D zavádí au tor pojem systému množin s multiplikativní asymptotickou hustotou a uvádí jedno kritérium a jednu nutnou podmínku pro t o, aby daný systém množin měl multiplikativní asymptotickou husto tu. Ně k t e r é typy vyjádř ení indukují množiny nulov ých asymptoti ckých hustot. Abychom mohli rozhodnout , který z těcht o typů je mezi přiroz enými č ís ly "obvyklejší," zavádí au tor v ods tavci 2.4 pojem ti-pom ěru množin A a B v množin ě C a uvádí jeho základní vlastnosti a aplikace. Odstavec 2.5 je věnován o tevřeným probl émům a aplikacím, zatímco v odstavci 2.6 je uvedeno použité ozna č en í . V příloze jsou autorovy člán ky [13] a [14] a dále koncept dalšího čl ánku , na kterém autor pracuj e s p o l e č n ě s Mgr. Monikou Pěluchovou.

Abstract:

Aut hor is engaged in problems associated with representation of natural numbers in some special forms in context with the concept ion of t he asymptotic density ofset A ~ N. Text is split into two chapters plus appendix. The first chapter cont ains some well-known result s abo ut this problems and is split into four sect ions. In first section 1.1, there are menti oned some elementary researches about representation of natural numbers in the form of the sum or difference of two elements from some given set A ~ N. Without it s proof is here ment ioned Waring's theorem and also Lagrange's which implies that the set of nat ur al numbers in form of sum of four squa res of integers has asymptot ic density equal to one. Sections 1.2 and 1.3 dea l wit h the set of natural numbers in form of sum of two squares of integers D, respecti vely with the set of natural numbers in form of sum of three squares of integers T. In t hese sect ions, there is specified which natural numb ers belong to the set D, respectively T and mentioned t hat the asymptotic density of D is equal to zero and the asym ptotic density of T is equal to ~ . Each type of expression of natural numbers induces a set of t hose natural numb ers , which have this formo Sect ion 1.4 treats types of expression which induces sets of zero asymptotic densiti es. The second chapter is composed of aut hor's own result s and is split into six sect ions. Sect ion 1.2 is based on some results from the aut hor's paper [13] . Main result of t his section is a sufficient condition for zero asymptotic density of set of natural numbers in form n~l + ... + n':nm , where kl , ,km are given na tural numbers, ni ~ N U {O}, i = 1, ... ,m , (nl " . . ,nm ) =J. (O, , O) . The results from sect ion 2.1 are generalized for the case of the set of natural numbers in form of sum of integral parts of some real functions in sect ion 2.3 which is based no author' s paper [14]. Section 2.2 t reats in detail the properti es of a cert ain syst em of some set s, where the set D is included. Using this knowledge aut hor gives his own proof of the known fact that asymptotic density of set D is equal to zero. Inspired by properties of mentioned system of some sets, where the set D is included, aut hor introduces notion of system oj sets with multiplicative asymptotic density and introduces one criterion and one necessary condit ion to a given system of sets be a system of set s with multiplicative asymptotic density. Some types of expression of na tural numbers induce sets of zero asymptot ic densities. To det ermine, which of t hese types of expression is "more common" among natural numbers aut hor introduces not ion of r-raiio oj sets A and B in set C and iť s elementary properties and applications in the section 2.4. In sect ion 2.5 you can find open problems and applications while section 2.6 contains used denotation. The appendix is created by author 's pap ers [13] and [14] and also a dr aft copy of article prepared by aut hor and Mgr. Monika P ěluchová.

Klíčová slova

asymptotic density

Jazyk práce: čeština

Datum vytvoření / odevzdání či podání práce: 20. 4. 2006

Zveřejnit od: 20. 4. 2006

Obhajoba závěrečné práce

• Obhajoba proběhla 20. 6. 2006
• Vedoucí: Doc. RNDr. János Tóth, Ph.D.

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ

Přírodovědecká fakulta

Doktorský studijní program / obor:
Aplikovaná matematika / Aplikovaná algebra