Řetězové zlomky a některé typy kvadratických diofantických rovnic

Bc. Diana VONDROVICOVÁ

Master's thesis

Continued fractions and some types of quadratic diophantine equations

Abstract:

Diplomová práce se zabývá odmocninami a způsoby usměrňování zlomků s iracionálními jmenovateli. Text je členěn do sedmi kapitol. V první kapitole se seznámíme se základní terminologií řetězových zlomků a se sblíženými zlomky řetězových zlomků. V druhé kapitole si definujeme základní pojem celá část čísla, bez jehož znalosti bychom nedokázali vyřešit naprostou většinu uvedených příkladů. Dále je zde řešena problematika vyjádření kladného racionálního čísla pomocí Euklidova algoritmu a neúplných podílů. V třetí kapitole se dozvídáme, jak lidé v průběhu evoluce matematiky napříč historií pracovali s druhými odmocninami. Dále jsou zde definovány ryze periodické a neryze periodické pravidelné řetězové zlomky, načež jimi vyjadřujeme kvadratické iracionality. Čtvrtá kapitola je věnována základní definici kongruence a využití řetězových zlomků při řešení lineární kongruence o jedné neznámé. V páté a šesté kapitole se seznamujeme s termínem diofantické rovnice a opět nahlédneme do historie, abychom zjistili, kdo byl onen Diofantos. Poté postupně pracujeme se dvěma speciálními typy kvadratických diofantických rovnic o dvou neznámých - Pellovou rovnicí a zobecněnou Pellovou rovnicí. Zjistíme, jací matematici napříč historií dané rovnice řešili a jakými algoritmy lze získat uspořádané celočíselné dvojice [x,y], které jsou hledaným řešením. V poslední kapitole se dozvídáme o další kvadratické diofantické rovnici, o historii diofantických rovnic v rámci školství a o řešení daných rovnic v současnosti pomocí matematických aplikací a programů.

Abstract:

This thesis deals with square roots and methods of expressing fractions with surd denominators. The text is divided into 7 chapters. In the first chapter, we introduce the basic terminology of continued fractions and their convergents. The second chapter defines the whole part of the number as a term which is a requisite for solving the majority of the proposed problems. Moreover, the chapter deals with the determination of positive rational numbers using the Euclidean algorithm and incomplete quotients. The third chapter describes how people have been working with the square root during the evolution of mathematics, defines purely periodic and purely non-periodic regular continued fractions, and formulates its quadratic irrationality. The fourth chapter outlines the definition of congruence and utilization of continued fractions for solving the linear congruence of one unknown. The two chapters introduce the term of the Diophantine equation and explains who Diophantus was. Afterwards, we work with two special types of quadratic Diophantine equations with two unknowns - the Pell equation and the generalized Pell equation. Then this work goes through the history of the equation, which mathematicians were solving it and which algorithms they were applied for finding its solutions. The last chapter presents another quadratic Diophantine equation, including its history in education, and current solutions of given equations utilizing mathematical programs and applications.

Keywords

Řetězové zlomky, 10. Hilbertův problém, Pellova rovnice, Zobecněná Pellova rovnice

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 30. 6. 2021

Accessible from:: 31. 12. 2999

Thesis defence

• Supervisor: Doc. RNDr. Jaroslav Hora, CSc.

University of West Bohemia

Faculty of Education

Master programme / field:
Teacher Training for Basic Schools / Ma-Fy