Alternativní přístup k posouzení stability a existence periodického řešené parametrických kmitavých systémů

Bc. Karel DRÁŽDIL

Master's thesis

Abstract:

Tato práce se zabývá alternativním přístupem k posouzení stability a existencí řešení parametrických kmitajících systémů s jedním i více stupni volnosti. Pro případ systému s jedním stupněm volnosti uvažujeme kmitající systém s periodicky proměnnou hmotností, tlumením, tuhostí a budící sílou. Nicméně hlavním cílem práce je aplikace zmíněného alternativního postupu na model rotoru s rotačně nesymetrickým průřezem. Matematický model rotoru sestavíme pomocí energetického přístupu při využití Lagrangeových rovnic a metody konečných prvků (MKP). Zmíněné konečné prvky budeme uvažovat jako 1D elementy reprezentující osu rotace rotoru. Tento matematický model rotoru s nesymetrickým průřezem je popsán časově periodicky proměnnými maticemi, které rozvineme do Fourierových řad. Hlavní myšlenkou alternativního přístupu je převod diferenciální rovnice, tj. matematického modelu rotoru, na integro- diferenciální rovnici s degenerovaným jádrem pomocí tzv. periodické Greenovy funkce (PGF), kterou definujeme jako výchozí bod pro hledání periodického řešení zmíněného matematického modelu. PGF lze chápat jako odezvu systému na buzení ve tvaru Diracova hřebene. Existenci analytického periodického řešení lze ověřit pomocí Rungeovy- Kuttovy metody. Jestliže existuje řešení, tak se výsledky analytického řešení shodují s ustáleným stavem získaným pomocí Rungeovy- Kuttovy metody. Dalším úkolem této práce je posuzování stability rotorového systému, které je založeno na určení znaménka reálné hodnoty determinantu systémové matice. Tento nový postup řešení je ověřen pomocí metody využívající Floquetovou teorii.

Abstract:

This thesis deals with the alternative approach to stability assessment and the existence of periodic solution of one-degree-of-freedom or multiple-degrees-of-freedom parametric vibrating systems. In the case of one-degree-of-freedom system we consider vibrating system with periodically variable mass, damping, stiffness and exciting force. However, the main goal of this thesis is application of the mentioned alternative approach to model of rotor system with rotationally non-symmetrical cross-section. The energetic approach is used to obtain mathematical model of rotor system by using Lagrange equations and finite element method (FEM). The rotor is modelled as 1D continuum using 1D elements, which are representing the axis of rotation of the rotor. The mathematical model of rotor system with non-symmetrical cross-section is described by periodically variable matrices, which are decomposed into the Fourier series. The main idea of the alternative approach is transformation of differential equation, ie. mathematical model of rotor system, into integro-differential equation with degenerated kernel by using periodical Green's function (PGF), which is a response of the system to excitation in the form of the Dirac chain. The PGF is used as a starting point of searching the periodical solution of the mentioned mathematical model. The existence of the analytical periodical solution can be verified by using the Runge-Kutta method. If the solution exists, the results of this solution correspond with the steady stage obtained by the Runge-Kutta method. Another goal of this study is the stability assessment of the rotor system, which is based on identification of the sign of the real value of the determinant of the system matrix. This new procedure of solution is validated by method using Floquet theory.

Keywords

kmitání, rotorové systémy, MKP, matematický model, integro- diferenciální rovnice, periodické řešení, stabilita, Floquetova teorie

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 31. 5. 2016

Accessible from:: 31. 12. 2999

Thesis defence

• Date of defence: 28. 6. 2016
• Supervisor: Prof. Dr. Ing. Jan Dupal

University of West Bohemia

Faculty of Applied Sciences

Master programme / field:
Computer Modelling in Engineering / Dynamics of Structures and Mechatronics