Vytvořující funkce

Anna LÖRINCZOVÁ

Bakalářská práce

Generating functions

Anotace:

Cílem této práce je sestavit rozšiřující studijní materiál o vytvořujících funkcích. Vytvořující funkci dané posloupnosti nejprve zavádíme jako konvergentní mocninnou řadu, jejíž koeficienty jsou rovny jednotlivým členům této posloupnosti. Dále se vytvořujícím funkcím věnujeme z pohledu formálních mocninných řad, kde ukážeme, že lze vypustit otázku analytické konvergence. Hlavní část celé práce představuje aplikaci vytvořujících funkcí, kombinatoriku rozkladů. V této části je naším hlavním zájmem spočítat, kolika způsoby lze dané přirozené číslo vyjádřit jako součet přirozených čísel. Jedná se o problém snadno popsatelný, ale náročný. Skrývá se za ním překvapivě bohatá matematika, na které se podílela řada významných matematiků, mezi nimi Euler, Hardy či Ramanudžán. V závěrečné kapitole je přiloženo několik řešených cvičení.

Abstract:

The goal of this thesis is to create an supplementary study material concerning generating functions. Generating function of a sequence is first introduced as a convergent power series, with coefficients taken from the sequence. Next, we present generating functions as formal power series, where we show that analytic convergence is not necessarily needed. The main part of this thesis is dedicated to an application in integer partitions. We aim to count the number of ways in which it is possible to write a nonnegative integer as a sum of natural numbers. Even though the issue itself is rather easily described, finding the solution is very difficult. Beneath, there is surprisingly rich mathematics to which many eminent mathematicians contributed - namely Euler, Hardy and Ramanujan. In the final chapter, we have included several exercises with solutions.

Klíčová slova

Vytvořující funkce, formální mocninné řady, kombinatorika rozkladů, pentagonální čísla

Jazyk práce: čeština

Datum vytvoření / odevzdání či podání práce: 19. 5. 2023

Obhajoba závěrečné práce

• Vedoucí: Mgr. Dominik Lachman

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

Přírodovědecká fakulta

Bakalářský studijní program / obor:
Biologie pro vzdělávání / Biologie pro vzdělávání / Matematika pro vzdělávání