Okrajové úlohy pro singulární a degenerované diferenciální rovnice - jejich spektrální vlastnosti, řešitelnost, bifurkace, aproximace řešení

Bc. Lukáš KOTRLA

Master's thesis

BVPs for singular/degenerated differential equations - spectral properties, solvability, bifurcation, approximation

Abstract:

This diploma thesis is focused on study of nonlinear differential equation involving p-Laplace operater, in which source term depend on parameter, space variable, unknown function and its derivative. We also assume that source term can be decompose on (p-1)-homogeneous part and bounded perturbation. For given equation, we prove Krasnoselskii type necessary condition for the first eigenvalue of negative p-Laplacian. Then we restrict our attention to one-dimensional case and we prove the key estimate of analogy of Dancer's Theorem. The rest of this thesis is devoted to brief comments of author's papers, which were written in cooperation with author's mentor doc. ing. Petr Girg, Ph.D. The first paper is focused on the differentiability of function sin_p and the possibility of its expression as the convergent Maclaurin series. In the second paper we generalize sin_p to complex domain for p be an even integer.

Abstract:

Diplomová práce je zaměřena na studování nelineární diferenciální rovnice s p-Laplacovým operátorem, ve které závisí funkce zdroje na parametru, prostorové proměnné, neznámé funkci a její derivaci. Dále se předpokládá, že zdrojová funkce je rozložitelná na (p-1)-homogenní část a omezenou perturbaci. Pro danou rovnici je v práci dokázána Krasnoselského nutnou podmínku pro první vlastní číslo záporného p-Laplaciánu. V další části jsou úvahy omezené na jednodimenzionální případ a je zde dokázán klíčový odhad pro analogii k Dancerově větě pro studovanou úlohu. Zbytek práce tvoří komentáře k člákům autora napsaným společně s vedoucím práce doc. ing. Petrem Girgem, Ph.D. V prvním z nich se studuje diferencovatelnost funkce sin_p a možnost jejího rozvoje v Maclaurinovu řadu. Druhý je zaměřený na rozšíření funkce sin_p do komplexního oboru pro sudá p.

Keywords

p-Laplacián, bifurkace, Krasnoselského nutná podmínka, p-trigonometrické funkce, diferencovatelnost, spojitost, komplexní proměnná

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 22. 5. 2014

Accessible from:: 31. 12. 2999

Thesis defence

• Supervisor: Doc. Ing. Petr Girg, Ph.D.

University of West Bohemia

Faculty of Applied Sciences

Master programme / field:
Applied Sciences and Computer Engineering / Mathematical Engineering