Bifurcation theory and computational methods for bifurcation manifolds

RNDr. Veronika Hajnová, Ph.D.

Doctoral thesis

Abstract:

Ústředním tématem moderní kvantitativní analýzy dynamických systémů je popis bifurkačních variet v prostoru parametrů. Problém hledání bifurkačních variet dynamických systémů s diskrétním i spojitým časem obecně vede na systém nelineárních rovnic. Cílem této dizertační práce je navrhnout a demonstrovat na vhodných příkladech algebraické metody k hledání bifurkačních variet a srovnat tyto metody s běžně užívanými numerickými metodami. Většina modelových příkladů je řešena s použitím Gröbnerových bazí. Největším přínosem této zvolené metody je možnost získat implicitní popis bifurkačních variet v prostoru všech parametrů bez nutnosti výpočtu stacionárních bodů.

Abstract:

The primary topic of modern analysis of dynamical systems is bifurcation manifolds description in parameter space. The problem of finding bifurcation manifolds of a discretetime or a continuous-time dynamical system leads to a solution of a system of generally non-linear equations. The aim of the dissertation is to describe a method to find bifurcation manifolds using an algebraic approach, and to compare this approach with commonly-used numerical methods. For most of the case studies in the dissertation, we use a method based on the Gröbner basis. The most significant advantage of this approach is the possibility to obtain an implicit formula for bifurcation manifolds in full parameter space without the necessity of computing steady states.

Keywords

bifurkace, Fold, Hopfova, Flip, Neimarkova-Sackerova, Gröbnerovy báze, Groebnerovy báze, bialternativní maticový součin, Matcont, Auto, XPPAut, LPA model, Selkovův model, model predátor kořist, FitzHughův-Nagumův model, Hénonovo zobrazení, bifurcation, Hopf, Neimark-Sacker, Gröbner basis, Groebner basis, bialternate matrix product, Selkov model, predator-prey model, FitzHugh-Nagumo model, Hénon map

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 5. 12. 2019

Thesis defence

• Date of defence: 3. 3. 2020
• Supervisor: RNDr. Lenka Přibylová, Ph.D.
• Reader: prof. RNDr. Michal Fečkan, DrSc., Assoc. Prof. André E. Botha

Masaryk University

Faculty of Science

Doctoral programme / field:
Mathematics and Statistics / Probability, Statistics and Mathematical Modelling