Postupné vlny pro bistabilní a monostabilní Fisher-Kolmogorovu rovnici s nespojitou difuzí závislou na hustotě

Mgr. Michaela ZAHRADNÍKOVÁ

Advanced ('rigorózní') thesis

Travelling waves for bistable and monostable Fisher-Kolmogorov equation with discontinuous density dependent diffusion

Abstract:

Náplní práce je studium postupných vln pro zobecněnou Fisher-Kolmogorovu rovnici s nespojitou difuzí závislou na hustotě, která může degenerovat nebo mít singularity v bodech ekvilibrií. Reakční člen uvažujeme bistabilní nebo monostabilní a jedná se o spojitou, obecně nelipschitzovskou funkci. V práci prezentujeme naše nedávno získané výsledky týkající se existence, jednoznačnosti a asymptotického chování postupných a stojatých vln pro bistabilní případ. Očekávané výsledky pro monostabilní případ jsou zahrnuty v podobě otevřených problémů, které jsou předmětem našeho současného výzkumu. Originalita výsledků této práce spočívá především v tom, že difuzní koeficient může mít nespojitosti prvního druhu v konečném počtu bodů a může degenerovat nebo mít singularity v bodech ekvilibrií. Ukazujeme, jak je druhé ze zmíněných zobecnění difuzního koeficientu kompenzováno tím, jak rychle se anuluje reakční člen v těchto ekvilibriích. Dalším přínosem práce je skutečnost, že jak vyvážený a nevyvážený bistabilní, tak monostabilní případ jsou zpracovány jednotným a poměrně obecným způsobem založeným na Carathéodoryho teorii obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu.

Abstract:

This thesis is devoted to the travelling wave solutions of the generalized Fisher-Kolmogorov equation with discontinuous density dependent diffusion that can degenerate or have singularities at equilibrium points. The reaction term is either bistable or monostable and it is a continuous, possibly non-Lipschitz function. We present our recent results concerning the existence, uniqueness and asymptotic behaviour of travelling and standing waves in the bistable case. Expected results for the monostable case are included as open problems. The work on these problems is the main subject of our current research. The novelty of the results in this thesis consists in the fact that the diffusion term allows for discontinuities of the first kind in finite number of points as well as for degenerations and/or singularities at equilibrium points. It is shown how the latter generalization of density dependent diffusion is compensated by the speed of vanishing of the reaction term in these equilibria. Another added value of this thesis is the fact that bistable balanced and unbalanced as well as the monostable cases are treated in a unified and rather general way based on the Carathéodory's theory of the first order ODEs.

Keywords

postupná vlna, zobecněná Fisher-Kolmogorova rovnice, difuze závislá na hustotě, nespojitá difuze, degenerovaná a singulární difuze, bistabilní a monostabilní reakce, nelipschitzovská reakce, asymptotické chování

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 2. 3. 2022

Accessible from:: 31. 12. 2999

Thesis defence

University of West Bohemia

Faculty of Applied Sciences

Advanced ('rigorózní řízení') programme / field:
Rigorózní řízení - Matematika a její aplikace / Rigorózní řízení - Matematika a její aplikace