Annihilators of the ideal class group of imaginary cyclic fields

Mgr. Pavel Francírek

Doctoral thesis

Abstract:

Hlavním cílem této práce je pro jistou třídu imaginárních cyklických těles najít anihilátory grupy tříd ideálů ležící mimo Sinnottův Stickelbergrův ideál. V této práci studujeme těleso L, které je kompozitem reálného cyklického tělesa K, jehož stupeň nad racionálními čísly je mocnina lichého prvočísla l, a imaginárního cyklického tělesa F, jehož stupeň nad racionálními čísly není dělitelný prvočíslem l. Navíc předpokládáme, že konduktory těles K a F jsou nesoudělné. Hlavní myšlenka této práce spočívá v tom, že v tělese L nalezneme netriviální odmocninu jisté modifikované Gaussovy sumy. Faktorizací ideálu generovaného touto odmocninou dostaneme anihilátory grupy tříd ideálů tělesa L. Následně ukážeme, že tyto anihilátory leží mimo Sinnottův Stickelbergrův ideál, jestliže počet prvočísel větvících se v K, které se zcela rozkládají v nejmenším imaginárním podtělese tělesa F, je dostatečně velký. Za předpokladu, že se l nevětví v L, stačí, aby počet těchto prvočísel byl větší nebo roven dvěma. V situaci, kdy je F kvadratické imaginární těleso, dává náš přístup obecně silnější výsledek v porovnání s výsledkem Greithera a Kučery. Na závěr také odvodíme výsledek o dělitelnosti relativního třídového čísla tělesa L.

Abstract:

The main objective of this thesis is to find for certain infinite family of imaginary cyclic fields annihilators of the ideal class group living outside the Sinnott's Stickelberger ideal. In this thesis we study a field L which is the compositum of a real cyclic field K whose degree over rationals is a power of an odd prime l and an imaginary cyclic field F whose degree over rationals is not divisible by l. In addition, we assume that the conductors of the fields K and F are relatively prime. The main idea of this thesis is to find in the field L a nontrivial root of a certain modified Gauss sum. The factorization of the principal ideal generated by this root gives rise to annihilators of the ideal class group of L. Then we show that these annihilators live outside the Sinnott's Stickelberger ideal if the number of primes ramified in K that split completely in the smallest imaginary subfield of F is sufficiently large. Assuming that l does not ramify in L, it is sufficient that the number of these primes is greater than or equal to two. In the case of F being a quadratic imaginary field our approach generally leads to a stronger annihilation result compared to a result of Greither and Kučera. At the end, we also obtain a result on the divisibility of the relative class number of L.

Keywords

Gaussovy sumy, anihilátory, grupa tříd ideálů, Stickelbergrův ideál, cyklická tělesa, Gauss sums, annihilators, class group, Stickelberger ideal, cyclic fields

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 16. 4. 2020

Thesis defence

• Date of defence: 9. 9. 2020
• Supervisor: prof. RNDr. Radan Kučera, DSc.
• Reader: Daniel Vallieres, Prof. Dr. Cornelius Greither

Masaryk University

Faculty of Science

Doctoral programme / field:
Mathematics and Statistics / Algebra, Number Theory and Mathematical Logic