Construction of planar emulators of graphs

Mgr. Matěj Klusáček

Bachelor's thesis

Abstract:

Práce se zabývá popisem třídy grafů, které mají konečný planární emulátor (tj. lokálně surjektivní homomorfismus z nějakého rovinného grafu). Dlouhou dobu byla tato třída považována za totožnou s třídou planárních obalů (Fellows 1988), nicméně nedávný průlom (Rieck a Yamashita 2008) tuto domněnku vyvrátil. Martin Derka zkoumal ve své bakalářské práci planární emulátory dále a mimo jiné přišel s jejich pěknou charakterizací související s vnitřní 4-souvislostí. V této práci je tato domněnka vyvrácena konstrukcí několika emulátorů grafů, které vnitřně 4-souvislé nejsou, neboť obsahují netriviální řez o velikosti 3. Ten rozděluje tyto grafy na dvě nerovinné části, což na první pohled brání existenci jejich emulátorů. Práce popisuje principy sestrojení těchto emulátorů a některé jejich společné znaky a je dalším krokem k charakterizaci celé, stále ještě záhadné, třídy.

Abstract:

This thesis deals with the problem of describing the class of those graphs which have a planar emulator - a locally-surjective homomorphism from a planar graph. For a long time this class had been believed to coincide with the class of planar-coverable graphs (Fellows' conjecture 1988), however Rieck and Yamashita showed the existence of nonprojective planar-emulable graphs in a recent breakthrough of 2008. In his Bc Thesis work, Derka studied the possible non-projective planar-emulable graphs further, and conjectured that all such ones are essentially internally-4-connected. In this thesis we take the opposite standpoint, and construct planar emulators of four graphs among the 35 projective forbidden minors which were not believed to exist. The common structural property of these graphs is the existence of an essential 3-cut with both sides nonplanar which, at first sight, likely prevented a graph from having a planar emulator. We carefully describe the new emulators and their somehow odd behavior, and try to outline some properties they all share in order to make a further step towards understanding the mysterious class of graphs with planar emulators.

Keywords

Graph, finite planar emulator, 3-connected graph, projective plane, minor, Fellows' conjecture

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 23. 5. 2011

Thesis defence

• Date of defence: 20. 6. 2011
• Supervisor: prof. RNDr. Petr Hliněný, Ph.D.
• Reader: RNDr. Ondrej Moriš

Masaryk University

Faculty of Informatics

Bachelor programme / field:
Informatics / Informatics