Circular units of a compositum of quadratic fields

Mgr. Zdeněk Polický, Ph.D.

Doctoral thesis

Abstract:

Tato práce se zabývá studiem grupy kruhových jednotek (v notaci LaTeXu) $C$ v kompozitu kvadratických těles $k=\mathbb{Q}(\sqrt{d_1},\dots,\sqrt{d_s}),$ kde $d_1,\, \dots,\, d_s$ jsou lichá celá čísla nedělitelná druhou mocninou prvočísla a zároveň $d_1\equiv 3\, (\mathrm{mod} \,4)$. V hlavní části práce (kapitola 2) zkonstruujeme bázi grupy $C$, spočítáme index této grupy v grupě všech jednotek tělesa $k$ a získáme odhad pro dělitelnost tohoto indexu mocninou prvočísla $2.$ Na základě těchto výsledků navíc můžeme získat odhad dělitelnosti počtu tříd ideálů maximálního reálného podtělesa tělesa $k$ mocninou $2,$ jestliže index $e$ větvení dvojky v $k/\mathbb{Q}$ je roven $1$ nebo $2$. V kapitole 3 se zabýváme studiem grupy $C$ v posledním možném případě, tedy pokud index větvení $e$ v $2$ je roven $4$. Označme $W$ grupu všech odmocnin z jedné tělesa $k$ a $G=\Gal(k/\Q)$. Klíčová vlastnost grupy $C$ umožňující řešit případ $e\le2$ je, že pro každé $\varepsilon\in C$ a $\sigma\in G$ existuje $\eta\in C$ a $\rho\in W$ tak, že $\varepsilon ^{1-\sigma }=\rho \eta ^2$. Avšak tato klíčová vlastnost není splněna ve zmíněném případě $e=4$. I přesto lze popsat maximální nezávislý systém jednotek v $C$ využitím tří maximálních podtěles $k$, jejichž index větvení v $2$ je $2$. Jestliže označíme $\tC$ grupu generovanou tímto maximální systémem jednotek a grupou všech odmocnin z jedné, bude možné spočítat index $[E:\tC]$ a dát horní odhad dělitelnosti indexu $[C:\tC]$ mocninou $2$.

Abstract:

This thesis studies the group of circular units (in LaTeX notation) $C$ of a compositum of quadratic fields $k=\mathbb{Q}(\sqrt{d_1},\dots,\sqrt{d_s}),$ where $d_1,\, \dots,\, d_s$ are square-free odd integers and $d_1\equiv 3\, (\mathrm{mod} \,4)$. In the main part (Chapter 2) we construct a basis of $C,$ compute the index of $C$ in the full group of units of $k$ and derive a lower bound for the divisibility of this index by a power of $2.$ These results give a lower bound for the divisibility of the class number of the maximal real subfield of $k$ by a power of $2$ if the ramification index $e$ at $2$ is equal to $1$ or $2$. In Chapter 3 we describe the group $C$ in the last case that has not been covered yet, namely in the case when the ramification index $e$ of $2$ equals $4$. Let $W$ be the group of roots of unity in $k$ and let $G=\Gal(k/\Q)$. The key property of the group $C$ allowing to solve the case $e\le2$ is that for any $\varepsilon\in C$ and any $\sigma\in G$ there is $\rho\in W$ and $\eta\in C$ such that $\varepsilon ^{1-\sigma }=\rho \eta ^2$. But this key property is not satisfied in the mentioned case $e=4$ and so we cannot use the same approach. Nevertheless, using the three maximal subfields of $k$ whose ramification index at $2$ is $2$, we are able to describe an explicit maximal independent system of units in $C$. Let $\tC$ be the group generated by $W$ and by this system. Then we can compute the index $[E:\tC]$ and give a reasonable upper bound for the index $[C:\tC]$.

Keywords

kompozitum kvadratických těles, kruhové jednotky, index grupy kruhových jednotek, počet prvků grupy tříd ideálů, compositum of quadratic fields, circular units, the index of circular units, class number

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 6. 5. 2009

Thesis defence

• Date of defence: 27. 5. 2009
• Supervisor: prof. RNDr. Ladislav Skula, DrSc.
• Reader: Mgr. Michal Bulant, Ph.D., prof. dr. hab. Kazimierz Szymiczek

Masaryk University

Faculty of Science

Doctoral programme / field:
Matematics (4-years) / Algebra, Number Theory and Mathematical Logic