Fibonacciho čísla a jejich aplikace

RNDr. Martina Jarošová, Ph.D.

Doctoral thesis

Fibonacci Numbers and Their Applications

Abstract:

Fibonacciho a Lucasova čísla, zlatý řez a řetězové zlomky patří k pojmům, které poutají pozornost matematiků i filozofů již několik staletí. Postupně byly vyšetřovány vlastnosti těchto objektů a zajímavé, někdy až fascinující souvislosti mezi nimi. Předložená práce si v první řadě klade za cíl nashromáždit poznatky o uvedených pojmech, srozumitelně je vyložit a poukázat na pozoruhodné souvislosti mezi nimi v ucelené podobě. Mapuje dosud vyšlé publikace a celou tematiku předkládá ve formě učebního textu, který může stejně dobře posloužit kantorům jako i zvídavým studentům, jež zaujala látka týkající se Fibonacciho a Lucasových čísel. V práci nalezneme mnoho zajímavých matematických vztahů a skutečností o Fibonacciho a Lucasových číslech, o zlatém řezu a řetězových zlomcích, navíc je práce rozšířena o historické poznámky. Text je rozdělen do šesti kapitol a je koncipován především jako pomocný materiál pro učitele. Kromě zajímavých řešených úloh zde čtenář najde celou řadu matematických, matematicko-biologických, matematicko-historických a dalších poznatků a zajímavostí, které by sám těžko vyhledával roztroušené v literatuře. V češtině vůbec poprvé se zde může seznámit s šestadvaceti původními úlohami z Liber abaci (o některých se stručně zmiňuje J. Bečvář), jejich rozborem a přepisem do dnešní matematické symboliky. Kapitoly obsahující řešené příklady jsou koncipovány tak, aby bylo možno je ihned využít ve výuce.

Abstract:

For centuries, Fibonacci and Lucas numbers, golden section, and continued fractions have attracted the attention of mathematicians and philosophers. Step by step, the properties of such objects have been investigated and interesting, sometimes even intriguing, relationships between them discovered. The present thesis aims to collect the known facts on these notions in the first place, expounding them in a clearly structured and comprehensive manner and pointing out remarkable relationships. It brings an overview of the books published to date presenting the whole subject as a textbook that can be used by teachers as well as by students eager to learn something more about Fibonacci and Lucas numbers. In the thesis, a number of interesting mathematical facts and relationships can be found concerning Fibonacci and Lucas numbers, golden section, and continued fractions with additional historical notes. The text is divided onto six chapters being conceived mostly as an auxiliary teaching material. In addition to interesting examples, the reader can also find many mathematical facts and peculiarities related to biology and history, which would otherwise be difficult to find in the scattered literature. The twenty-six original problems of the Liber abaci (some of them being mentioned by J. Bečvář) are published here for the first time in Czech, analyzed and transcribed using the modern mathematical symbolism. The structure of the chapters with examples makes it possible to use them directly for teaching.

Keywords

Fibonacciho čísla, Lucasova čísla, Zobecněná Fibonacciho čísla, Leonardo Pisánský, Fibonacci, Liber Abaci, Édouard Lucas, Zlatý řez, Fibonacciho čtyřúhelníky, Řetězové zlomky, Fibonacciho čísla a příroda, Fibonacciho a Lucasovy polynomy, Fibonacciho a Lucasovy identity, Fibonacci Numbers, Lucas Numbers, Generalized Fibonacci Numbers, Leonardo Pisano – Fibonacci, Golden Section, Continued Fractions, Fibonacci Rectangles, Fibonacci Numbers and Nature, Fibonacci and Lucas Polynomials, Fibonacci and Lucas Identities.

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 31. 3. 2010

Thesis defence

• Date of defence: 9. 6. 2010
• Supervisor: prof. RNDr. Ladislav Skula, DrSc.
• Reader: prof. RNDr. Zuzana Došlá, DSc., doc. RNDr. Jiří Karásek, CSc.

Masaryk University

Faculty of Science

Doctoral programme / field:
Matematics (4-years) / General Problems of Mathematics