Otáčení v rovině a komplexní čísla

Mgr. Jarmila Elbelová, PhD.

Advanced ('rigorózní') thesis

Rotation in a Plane and Complex Numbers

Abstract:

Předložená práce je metodickým textem věnovaným využití komplexních čísel při otáčení v rovině. Tato metoda je v práci využívaná při odvozování různých geometrických tvrzení a řešení geometrických úloh v rovině. V první teoretické kapitole jsou stručně popsány základní pojmy a poznatky týkající se komplexních čísel, které jsou pak uplatňovány při řešení úloh v následujících čtyřech kapitolách, sestavených z mnoha ukázek využití komplexních čísel při otáčení v rovině. V každé z těchto kapitol uvádíme úlohy s detailně zapsaným řešením doplněným takřka vždy obrázkem. Druhá kapitola zahrnuje úlohy, které lze řešit s využitím otáčení o 90 stipňů; jde tedy o úlohy, které dokazují kolmost nebo mají předpoklad o nějaké kolmosti v zadání. V jejich zadáních tak často vystupují čtverce nebo pravoúhlé rovnoramenné trojúhelníky. Ve třetí kapitole jsou uvedeny úlohy, při jejichž řešení využíváme otáčení o 60 stupňů (resp. o 120 stupňů) nebo toto otáčení spojené s otočením o 90 stupňů. Obvykle jde o úlohy, ve kterých se nějakým způsobem objevují rovnostranné trojúhelníky. Ve~čtvrté kapitole řešíme úlohy s využitím otáčení o obecný úhel, někdy spojené také s otočením o úhly 90, resp. 60 stupňů. V páté kapitole pak jsou uvedeny některé úlohy o pravidelných mnohoúhelnících. U všech převzatých úloh uvádíme odkaz na zdroj ze závěrečného seznamu použité literatury čítající 20 položek. Náměty a řešení některých úloh jsou původní.

Abstract:

The submitted work is a methodical text dealing with the use of complex numbers in rotation in a plane. The author applies this method to derive geometric statements as well as solve geometric problems in a plane. In the first, theoretical chapter, complex numbers are introduced and the basic notions concerning complex numbers used in problem solving in the following chapters are described. The four subsequent chapters present numerous examples of the use of complex numbers in rotation in a plane. Each of these chapters contains problems with detailed solutions, mostly supplied with illustrations. The second chapter presents problems which can be solved by means of a rotation by an angle of 90, that is, problems which prove perpendicularity or have perpendicularity as a premise. Thus these problems often feature squares or right-angled isosceles triangles. The third chapter contains problems in solutions of which the author uses a rotation by an angle of 60 (or 120), combined with a rotation by an angle of 90 in some cases. These examples often operate with equilateral triangles. The fourth chapter presents problems using a rotation by a general angle, sometimes connected with a rotation by an angle of 90 (or 60). The fifth chapter deals with regular polygons. The sources of all borrowed problems are mentioned with reference to the final bibliography of 20 items. The subjects and solutions of some problems are original.

Keywords

matematika, komplexní čísla, eukleidovská geometrie, otáčení v rovině, metody výpočtů

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 26. 9. 2012

Thesis defence

• Date of defence: 13. 12. 2012
• Reader: prof. RNDr. Josef Janyška, DSc., RNDr. Jaroslav Švrček, CSc.

Masaryk University

Faculty of Science

Advanced ('rigorózní řízení') programme / field:
Mathematics / Upper Secondary School Teacher Training in Mathematics