Historie aplikací hyperbolické geometrie

Mgr. Miroslava Tihlaříková, Ph.D.

Doctoral thesis

History of applications of hyperbolic geometry

Abstract:

Cílem této disertační práce bylo shromáždit a představit vybrané aplikace hyperbolické geometrie, které se objevily od jejího vzniku až do dnešních dnů. Naším záměrem bylo poukázat na význam hyperbolické geometrie v rozvoji matematiky a fyziky a zpřístupnit čtenáři její aplikace. Text je rozdělen do dvou kapitol. V první kapitole je předložen teoretický základ ke studiu hyperbolické geometrie. K zavedení geometrických objektů jako jsou body a přímky je použit Poincarého polorovinný model. Použitím analogií s euklidovskou geometrií a pomocí Möbiových transformací je pak přirozeným způsobem odvozen tvar Riemannovy metriky. Ve druhé kapitole jsou představeny nejdůležitější a nejzajímavější aplikace hyperbolické geometrie. Každé téma začíná krátkým historickým úvodem a pokračuje stručným popisem konkrétní aplikace, případně jsou uvedeny příklady praktického využití. První aplikace, která je v této kapitole zmíněna, je zřejmě také historicky první aplikací hyperbolické geometrie. V této aplikaci Lobachevsky použil prostředků hyperbolické geometrie k výpočtu některých určitých integrálů. Dále je v analogii s euklidovskou geometrií ukázáno, jak najít těžiště hyperbolického trojúhelníku, a začínají se tu rozvíjet úvahy nad hyperbolickým momentem setrvačnosti konečné soustavy hmotných bodù. Další oddíl pojednává o roli hyperbolické geometrie při objevu automorfních funkcí, které vedly k uniformizačnímu teorému. Následující aplikací je tok na horocyklech, který je součástí teorie dynamických systémů. Poté je zkoumána hyperbolická Radonova transformace, tato transformace našla uplatnění v elektrické impedanční tomografii. Jako další aplikace je čtenáři představena takzvaná gyro-teorie, která umožňuje definovat algebraické nástroje ke studiu hyperbolické geometrie a ke studiu speciální teorie relativity. Na konci této práce je ukázána teorie grup a podgrup, která se skrývá za některými grafikami nizozemského umělce M. C. Eschera. Tyto grafiky jsou ve skutečnosti mozaikami hyperbolické roviny.

Abstract:

The purpose of this dissertation thesis was to collect and introduce selected applications of hyperbolic geometry which have appeared since the discovery of hyperbolic geometry. The aim was to point out the importance of hyperbolic geometry in the development of mathematics and physics and to make its applications accesible to the reader. The text is divided into two chapters. In the first chapter we establish the theoretical basis of the study of hyperbolic geometry. To introduce geometric objects as points and lines we use the Poincaré half-plane model. Using the analogies of Euclidean geometry and Möbius transformations we deduce the form of Riemannian metric in quite a natural way. In the second chapter we introduce the most important and interesting applications of hyperbolic geometry. Each section starts with the historical context of the concrete application, then we present a rough introduction of the application, in some cases we give examples of the practical usage. The second chapter starts with what is probably the first application of hyperbolic geometry which is credited to Lobachevsky, who used hyperbolic geometry to compute some definite integrals. Analogous to Euclidean geometry, we present how to find the center of mass in a hyperbolic triangle and we begin to ponder the hyperbolic moment of inertia of a finite system of point masses. The next application deals with a horocyclic flow, which is a part of the study of dynamical systems. Next we discuss the role of hyperbolic geometry in the invention of automorphic functions, which led to the uniformization theorem. Then we present an inquiry into the hyperbolic type of Radon transform which found its use in electrical impedance imaging. We also introduce to the reader gyro-theory, which enables the definition of algebraic tools for the study of hyperbolic geometry and is important for the study of the theory of special relativity. At the end, we also show the theory of groups and subgroups hidden behind some of the graphics of the Dutch artist M. C. Escher, which actually are the tessellations of the hyperbolic plane.

Keywords

hyperbolic geometry, Möbius transformations, automorphic functions, horocyclic flow, Radon transform, gyro-theory, hyperbolic tessellation, hyperbolická geometrie, Möbiovy transformace, automorfní funkce, tok na horocyklech, Radonova transformace, gyro-teorie, hyperbolické mozaiky

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 20. 7. 2010

Thesis defence

• Date of defence: 7. 10. 2010
• Supervisor: doc. RNDr. Jiří Vanžura, CSc.
• Reader: prof. RNDr. Josef Janyška, DSc., prof. RNDr. Josef Mikeš, DrSc.

Masaryk University

Faculty of Science

Doctoral programme / field:
Matematics (4-years) / General Problems of Mathematics