Wignerova funkce na válci

Marco CAMPOS AGUILAR

Bachelor's thesis

Wigner function on a cylinder

Abstract:

Phase space Wigner function of a linear harmonic oscillator is a useful concept which provides a visual image of the corresponding quantum state and serves as a powerful computational tool which may simplify calculations. While these roles of the Wigner function are well understood for the linear harmonic oscillator it is not so with other fundamental quantum systems. One of such systems is the system of a quantum rigid rotor. The non-trivial cylindrical topology of its phase space creates a freedom of choice in the phase of the displacement operator, giving rise to different definitions of the Wigner function for this system. The purpose of this bachelor thesis is to identify the best Wigner function for the considered system, which would possess the maximum number of required properties. To achieve this goal, we first summarize the properties any Wigner function should have, then we review currently known forms of the Wigner function. The required properties produce a rather complex set of equations. Surprisingly, we are able to solve it. As a result, we get a new Wigner function, which is, unlike the previous cases, equipped with all the required properties and at the same time it exhibits a simpler structure. Interestingly, by relaxing the requirement of reality of the Wigner function, we arrive to an even more computationally friendly but complex-valued quasiprobability distribution. Our results provide new computational tools for the fundamental system of a quantum rigid rotor and pave the way towards development of the quantum mechanical formalism in its curved phase space.

Abstract:

Wignerova funkce lineárního harmonického oscilátoru je užitečný pojem, který nám poskytuje vizuální obraz příslušného kvantového stavu a slouží také jako mocný výpočetní nástroj, který může zjednodušit výpočty. I když jsou tyto role Wignerovy funkce dobře pochopeny pro lineární harmonický oscilátor, u jiných základních kvantových systémů tomu tak není. Jedním z takových systémů je systém kvantového tuhého setrvačníku. Netriviální válcová topologie jeho fázového prostoru vytváří volnost ve volbě fáze posunovacího operátoru, z čehož vyplývají různé definice Wignerovy funkce pro tento systém. Cílem této bakalářské práce je indentifikovat nejlepší Wignerovu funkci pro uvažovaný systém, která by měla maximální počet požadovaných vlastností. K dosažení tohoto cíle nejprve shrneme vlastnosti, které by měla mít každá Wignerova funkce, a poté prohlédneme v současnosti známé tvary Wignerovy funkce. Požadované vlastnosti vedou k poměrně složité soustavě rovnic. Překvapivě jsme soustavu schopni vyřešit. Výsledkem je nová Wignerova funkce, která je na rozdíl od předchozích případů vybavena všemi požadovanými vlastnostmi a zároveň vykazuje jednodušší strukturu. Zajímavé je, že zmírněním požadavku na reálnost Wignerovy funkce dospějeme k ještě výpočetně přívětivějšímu, ale komplexnímu kvazirozdělení pravděpodobnosti. Naše výsledky poskytují nové výpočetní nástroje pro základní systém kvantového tuhého setrvačníku a otevírají cestu k rozvoji kvantově mechanického formalismu v jeho zakřiveném fázovém prostoru.

Keywords

kvanová mechanika, fázový prostor, Wignerova funkce, kvantový moment hybnosti, kvantový tuhý setrvačník

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 3. 8. 2022

Thesis defence

• Supervisor: doc. Mgr. Ladislav Mišta, Ph.D.

Palacký University Olomouc

Faculty of Science

Bachelor programme / field:
General Physics and Mathematical Physics / General Physics and Mathematical Physics