Rewriting Systems and If-Then Rules in Fuzzy Setting

Mgr. Tomáš KÜHR

Doctoral thesis

Abstract:

This thesis consists two main parts which are dealing with quite different fuzzy relational systems. In the first part, the foundations for fuzzy rewriting systems are presented. The fuzzy counterparts of the notions of reducibility, convergence, divergence, convertibility, confluence, Church-Rosser property, termination, well-foundedness, inductive property, and normal form are introduced for a given fuzzy relation which serves as a reduction relation in this approach. Moreover, the ordinary notions are left as a particular case when the underlying structure of truth degrees is the two-valued Boolean algebra. Some essential properties of these generalized notions are also investigated in the first part of this thesis. There are also considered two ways of possible deeper generalization of the notions mentioned above which can be seen as foundations for rewriting on similarity and metric spaces. A given fuzzy equivalence or a generalized pseudometric serves as an additional knowledge representing the indistinguishability of elements which can be specified by an expert in a particular domain. Basic similarity issues as well as research on derived fuzzy reductions are also described in the first part. The second part of this thesis describes a link between two types of logic systems for reasoning with graded if-then rules: the system of fuzzy logic programming (FLP) in sense of Vojtas and the system of fuzzy attribute logic (FAL) in sense of Belohlavek and Vychodil. The main result in this part is that each finite theory consisting of formulas of FAL can be represented by a definite program so that the semantic entailment in FAL can be characterized by correct answers for the program and a query. Conversely, for each definite program there is a collection of formulas of FAL so that the correct answers can be represented by the entailment in FAL. Using this link, someone can transport results from FAL to FLP and vice versa. Research focused on reducing entailment in FLP to reasoning with Boolean attribute implications as well as investigation of properties of least models are also included.

Abstract:

Tato dizertační práce se skládá ze dvou relativně nezávislých částí, jež zkoumají vybrané aspekty teorií fuzzy relačních systémů. První část práce pokládá teoretické základy pro fuzzy přepisovací systémy. Konkrétně jsou zde zavedeny fuzzy protějšky pojmů reducibilita, konvergence, divergence, konvertibilita, konfluence, Church-Roserova vlastnost, terminace, fundovanost, induktivní vlastnost a normální forma. Výše uvedené pojmy se zde zavádějí jako odvozené relace nebo vlastnosti zadané fuzzy relace, která symbolizuje stupně nahraditelnosti jednoho objektu jiným. Tuto relaci nazýváme v souladu se zažitým pojmenování z teorie klasických přepisovacích systémů redukce. Při zavádění výše uvedených pojmů a zkoumání jejich vlastností byly jako struktury pravdivostních hodnot použity úplné reziduované svazy, při čemž klasické definice zůstaly speciálními případy jim odpovídajících pojmů, když se jako struktura pravdivostních stupňů uvažuje dvouhodnotová Booleova algebra. Práce se zabývá také dvěma dalšími možnými zobecněními výše zmíněných vlastností redukcí, která mohou být chápána jako základy přepisovacích systémů na podobnostních a metrických prostorech. Daná fuzzy ekvivalence či zobecněná pseudometrika zde slouží jako dodatečná informace o vzájemné nerozlišitelnosti prvků uvažovaného univerza. Tato relace může být v praxi specifikována expertem v dané oblasti. V neposlední řadě práce zkoumá, jak se změní vlastnosti redukce, pokud je tato nahrazena jinou, ale velmi podobnou fuzzy relací. Druhá část této práce popisuje propojení mezi dvěma logickými systémy pro práci s fuzzy IF-THEN pravidly: fuzzy logickým programováním (FLP) a~fuzzy atributovou logikou (FAL). Hlavním výsledkem této části je zjištění, že každá konečná teorie FAL může být reprezentována pomocí definitního programu, a to tak, že sémantické vyplývání ve FAL odpovídá správným odpovědím pro tento program a určitý cíl. Také pro každý definitní program existuje taková množina formulí FAL, že správné odpovědi odpovídají vyplývání z této teorie ve smyslu FAL. Využitím tohoto propojení můžeme přenést mnoho výsledků z FAL do FLP a naopak. Práce dále popisuje možnost převést vyplývání ve smyslu FLP na odvozování pomocí klasických atributových implikací.

Keywords

reziduované svazy, fuzzy relace, nahraditelnost, konfluence, terminace, podobnostní prostor, metrický prostor, fuzzy atributová logika, fuzzy logické programování

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 28. 6. 2013

Accessible from:: 28. 6. 2013

Thesis defence

• Supervisor: Doc. RNDr. Vilém Vychodil, Ph.D.

PALACKÝ UNIVERSITY IN OLOMOUC

Faculty of Science

Doctoral programme / field:
Computer Science / Computer Science