O existenci a kvalitativních vlastnostech řešení nelineárních rovnic

Bc. Phuoc-Truong Huynh

Master's thesis

On the existence and qualitative properties of solutions of nonlinear equations

Abstract:

Práce se zabývá Dirichletovými úlohami pro pololineární eliptické rovnice se spektrálním zlomkovým Laplaciánem, který je ne-lokálním operátorem definovaným pomocí Dirichletova spektra Laplaceova operátoru. Zejména se zajímáme o pololineární úlohy, které mají měřitelná data s absorbčními členy (A) a zdrojovými členy (S) na ohraničené oblasti Ω s hladkou hranicí. Prvně vyvineme teorii pro odpovídající lineární rovnice s homogenními okrajovými podmínkami. Na základě lineární teorie ukážeme, že pod jistými subkritickými podmínkami integrability na nelineární člen g platí, že pro každou Radonovu míru ve vhodném prostoru existuje jediné řešení Dirichletovy úlohy. V případě, že je μ Diracova míra, charakterizujeme asymptotické chování řešení (A) poblíž singulárního bodu. Narozdíl od rovnice (A), řešitelnost (S) silně závisí nejen na růstu g, ale také na normě míry μ, kterou značíme M. Přesněji, pokud g splňuje subkritickou polynomiální podmínku růstu, dokážeme existenci hraniční hodnoty λ* v tom smyslu, že Dirichletova úloha pro (S) má alespoň dvě řešení pro M < λ*, jediné řešení pro M= λ* a žádné řešení pro M > λ*. Výsledky v této práci zobecňují známé výsledky pro Laplacián a tvoří základ pro další studium v této oblasti.

Abstract:

The thesis studies Dirichlet problems for semilinear elliptic equations driven by the spectral fractional Laplacian, which is a nonlocal operator defined in terms of the Dirichlet spectrum of the Laplace operator. In particular, we are interested in the semilinear problems involving measure data with absorption terms (A) and source terms (S) in a bounded smooth domain Ω. To do this, we first develop a theory for the corresponding linear equations with homogeneous boundary conditions. Based on the linear theory, we show that, under a certain subcritical integrability condition the on nonlinear term g, for every Radon measure in a suitable space, there exists a unique solution of the Dirichlet problem. In the case μ is a Dirac mass, we characterize the asymptotic behavior of solutions of (A) near the singular point. Unlike equation (A), the solvability of (S) strongly depends not only on the growth of g, but also on the mass of μ, denoted by M. More precisely, if g satisfies a subcritical polynomial growth condition, we prove the existence of a threshold value λ* in the sense that the Dirichlet problem for (S) admits at least two solutions if M < λ*, a unique solution if M = λ* and no solution if M > λ*. The results presented in this thesis cover known results for the Laplacian and form a basis for, as well as motivate, further studies in this direction.

Keywords

Spectral fractional Laplacian, Dirichlet problem, Radon measure, Dirac measure, Green kernel, nonlocal, absorption terms, source terms, minimal solution, mountain pass solution, singularity

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 1. 6. 2020

Thesis defence

• Date of defence: 2. 7. 2020
• Supervisor: dr. Phuoc Tai Nguyen, Ph.D.
• Reader: doc. RNDr. Michal Veselý, Ph.D.

Masaryk University

Faculty of Science

Master programme / field:
Mathematics / Mathematical Analysis