Aplikace nespojité Galerkinovy metody konečných prvků na řešení úloh mechaniky tekutin

Ing. Ondřej BUBLÍK

Doctoral thesis

Aplication of discontinuous Galerkin finite element method for the solution of flow problems

Abstract:

Předložená disertační práce se zabývá numerickým modelováním proudění stlačitelných nevazkých a vazkých tekutin. Pro prostorovou diskretizaci rovnic matematického modelu je použita moderní nespojitá Galerkinova metoda konečných prvků. V~disertační práci je provedeno odvození této metody jak pro případ systému Eulerových rovnic popisujícího proudění stlačitelné, nevazké a tepelně nevodivé tekutiny, tak pro případ systému Navierových-Stokesových rovnic popisujícího laminárního proudění stlačitelné, vazké tekutiny. Jsou zde diskutovány různé systémy bázových funkcí, okrajové podmínky a způsoby tlumení nefyzikálních oscilací vznikajících v~řešení. Dále jsou zde uvedeny možnosti explicitní a implicitní časové integrace včetně návodu na efektivní sestavení Jacobiovy matice. Hlavním cílem této disertační práce je vzájemné porovnání výpočetní efektivity explicitní a implicitní metody časové integrace. Z~důvodů úspory výpočetního času je explicitní metoda vylepšena metodou lokálního času. Vzájemné porovnání implicitní metody a explicitní metody s~lokálním časem je provedeno na dvou testovacích příkladech, na supersonickém proudění nevazké tekutiny v~geometrii se schodem a na transonickém proudění nevazké tekutiny v~GAMM kanálu. Dalším cílem této disertační práce je aplikace nespojité Galerkinovy metody konečných prvků na řešení problémů technické praxe. V~jedné z~aplikačních úloh je řešeno turbulentní proudění v~mezeře s~výstupem do otevřené oblasti. Turbulence je zde modelována pomocí Wilcoxova $k$-$\omega$ modelu turbulence připojeného k~časově středovanému nelineárnímu systému Navierových-Stokesových rovnic. Získané numerické výsledky ukazují velice dobrou shodu s~experimentem. Další aplikační úlohou uvažovanou v~této práci je proudění tekutiny v~časově proměnné oblasti. Jsou zde diskutovány dva rozdílné přístupy. První přístup je založený na ALE (Arbitrary Lagrangian Eulerian) formulaci nespojité Galerkinovy metody konečných prvků, která uvažuje časově proměnné výpočetní sítě. Druhým přístupem je IBM (Immersed Boundary Method), který využívá klasickou formulaci metody na pevné síti a pohyb oblasti modeluje pomocí zdrojového členu. Získané numerické výsledky potvrzují poměrně dobrou shodu obou přístupů, nicméně IBM metoda má díky své jednoduchosti obecnější použití. V~disertační práci je dále uvedena možnost adaptivního zjemňování výpočetní sítě, kterého je možné poměrně jednoduše dosáhnout díky lokálnosti nespojité Galerkinovy metody konečných prvků. Adaptivní síťování je testováno na příkladech transonického obtékání NACA 0012 leteckého profilu a na supersonickém proudění náporovým motorem. Na konci disertační práce je uvedena možnost zefektivnění vyvinutých algoritmů pomocí paralelního výpočtu s~využitím vláken.

Abstract:

The Ph.D. thesis is aimed at the numerical modelling of compressible inviscid and viscous fluid flows. The spatial discretisation of the governing equations is carried out using the modern discontinuous Galerkin finite element method. The application of this method is performed for the system of Euler equations governing the flow of a compressible inviscid fluid and for the system of Navier-Stokes equations describing the laminar flow of a compressible viscous fluid. The work addresses different systems of basis functions, boundary conditions and artificial damping of non-physical oscillations and discusses explicit and implicit time integration approaches including the way how to efficiently assembly the Jacobian matrix. The main objective of this Ph.D. thesis lies in the comparison of explicit and implicit time integration methods in terms of their computational efficiency. To improve the computational performance of the explicit method, the local time-stepping technique is introduced. The comparison of implicit and local time-stepping explicit method is performed for two flow problems: a supersonic inviscid fluid flow in a wind tunnel with a step and a transonic inviscid fluid flow in the GAMM channel. The next objective of this Ph.D. thesis includes the application of the discontinuous Galerkin finite element method for the solution of various flow problems. First, the method is used for the numerical simulation of turbulent flow in a gap with open space outflow. The turbulent flow is described by the Wilcox $k$-$\omega$ turbulence model, coupled to the time-averaged system of Navier-Stokes equations. The obtained numerical results are in very good agreement with experimental data. Second, the computational ability of the discontinuous Galerkin finite element method is demonstrated by solving compressible laminar flow in time-varying domains. For this purpose, two different approaches are chosen: The first approach is based on the arbitrary Lagrangian Eulerian (ALE) formulation of the discontinuous Galerkin finite element method, which considers time-varying computational meshes. The second approach employs the immersed boundary method (IBM), principle of which is based on the classic formulation of the numerical method on a fixed mesh and the motion modelling using a source term. The obtained numerical results show a relatively good agreement of both approaches in terms of results quality, nevertheless it should be noted that IBM has wider application possibilities due to its simplicity. To accurately capture complex flow features, the Ph.D. thesis also describes possible use of adaptive mesh refinement, which can be easily achieved due to the local character of the discontinuous Galerkin finite element method. The mesh adaptation is tested by simulating transonic NACA 0012 airfoil and supersonic scramjet flows. The work is concluded with the possibility of parallel computing using threads.

Keywords

nespojitá Galerkinova metoda konečných prvků, explicitní metoda lokálního času, implicitní metoda, turbulentní model, ALE metoda, metoda vnořené hranice, adaptivní síťování

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 12. 11. 2014

Accessible from:: 31. 12. 2999

Thesis defence

University of West Bohemia

Faculty of Applied Sciences

Doctoral programme / field:
Applied Sciences and Computer Engineering / Applied Mechanics