Geometrical Structure of Gauge Theories: Electromagnetism, Gravitation

Mgr. Aleš Paták, Ph.D.

Doctoral thesis

Abstract:

Je zkoumána geometrická struktura přirozeně kalibračních teorií. Studujeme především Einsteinovu-Yangovu-Millsovu teorii, příklad přirozeně kalibrační teorie, popisující interakci gravitace s Yangovým-Millsovým polem. Yangovu-Millsovu část teorie uvažujeme, bez větších komplikací, s obecnou Lieovou grupou G, volba G=U(1) odpovídá elektromagnetismu. Globální variační funkcionál, definovaný Hilbertovým-Yangovým-Millsovým lagrangiánem nad hladkou varietou, je zkoumán pomocí prolongační teorie hlavních fibrovaných prostorů a globální variační teorie na fibrovaných varietách. Je zkonstruován hlavní Lepageův ekvivalent tohoto lagrangiánu a získána odpovídající infinitezimální první variační formule. Zvláště je ukázáno, že Noetherovské proudy, asociované s izomorfismy podkladových geometrických struktur, se přirozeně štěpí na několik členů, jeden z nich je vnější derivace Komarova-Yangova-Millsova superpotenciálu. Pak jsou uvedeny důsledky invariance Hilbertova-Yangova-Millsova lagrangiánu vůči izomorfismům podkladových geometrických struktur, jako Noetherovské zákony zachování pro globální proudy. Předkládáme také příklady Komarova-Yangova-Millsova superpotenciálu pro několik řešení Einsteinových rovnic.

Abstract:

The geometric structure of gauge natural theories is investigated. We study especially the Einstein-Yang-Mills theory, an example of gauge natural theory, describing the interaction of gravity with the Yang-Mills field. We consider the Yang-Mills part of the theory with a general Lie group G, at no cost in complications, the choice G=U(1) corresponds to electromagnetism. The global variational functional, defined by the Hilbert-Yang-Mills Lagrangian over a smooth manifold, is investigated within the framework of prolongation theory of principal fiber bundles, and global variational theory on fibered manifolds. The principal Lepage equivalent of this Lagrangian is constructed, and the corresponding infinitesimal first variation formula is obtained. It is shown, in particular, that the Noether currents, associated with isomorphisms of the underlying geometric structures, split naturally to several terms, one of which is exterior derivative of the Komar-Yang-Mills superpotential. Consequences of invariance of the Hilbert-Yang-Mills Lagrangian under isomorphisms of underlying geometric structures such as Noether's conservation laws for global currents are then established. We give also some examples of Komar-Yang-Mills superpotentials corresponding to several solutions of the Einstein equations.

Keywords

Variational principle, Lagrangian, Noether's invariance, jet prolongation, gauge natural structure

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 31. 3. 2008

Thesis defence

• Date of defence: 8. 4. 2008
• Supervisor: prof. RNDr. Demeter Krupka, DrSc.
• Reader: prof. RNDr. Ivan Kolář, DrSc., doc. RNDr. Marián Fecko, Ph.D.

Masaryk University

Faculty of Science

Doctoral programme / field:
Physics (4-years) / Theoretical Physics and Astrophysics