Difúzní modely na grafech

Jan MATAS

Bakalářská práce

Dynamical models in mathematical economics

Anotace:

V této práci se zabýváme matematickým modelováním difúze mezi oddělenými oblastmi, jejichž vzájemná propojení modelujeme grafy. S pomocí teorie grafů a obyčejných diferenciálních rovnic vytvoříme jednoduchý difúzní model nad grafem se dvěma vrcholy, který následně zobecníme pro libovolný souvislý neorientovaný graf. Difúzi zde nechápeme pouze jako přesun z oblastí s vyšší koncentrací do oblastí s nižší koncentrací, ale jako obecnější proces přesunu daný difúzní funkcí. Je-li difúzní funkce lineární, modelujeme difúzi v již popsaném klasickém pojetí. Zvolíme-li ji ale nelineární, můžeme modelovat složitější procesy, např. shlukování a koexistence. Po formálním vybudování modelů následují v případě grafu se dvěma vrcholy a lineární difúze pro libovolný graf poznatky o asymptotickém chování. Práce je doplněna numerickými experimenty i v případě shlukování a koexistence pro obecný graf, které nastiňují možné směry dalšího zdokonalování modelů a demonstrují několik nevyřešených otázek k analýze modelů představených v této práci.

Abstract:

In this thesis, we study diffusion among separated but connected regions. The mutual connection between those regions is modelled by graphs where vertices represent regions and edges connections among them. Firstly, we use the theory of differential equations and graph theory to create a simple diffusion model for graph with two vertices which is afterward generalised for any arbitrary connected undirected graph. The term diffusion is treated more generally in this thesis. We do not regard it only as a movement from regions of high concentration to regions of low concentration but more likely as a general process of movement given by a specific diffusion function. If the diffusion function is linear, the common diffusion of uniform spread is modelled. But if the diffusion function is chosen as nonlinear, more complicated processes, i.e. clustering and coexistence can be considered. After formal mathematical properties of models are ensured, the stability analysis follows in case of models on graph with two vertices and linear diffusion for arbitrary graph. For models of clustering and coexistence on an arbitrary graph have been done several numerical experiments to motivate further research.

Klíčová slova

difúze, matematická analýza, diferenciální rovnice, matematické modelování, autonomní dynamický systém, graf, spolupráce

Jazyk práce: čeština

Datum vytvoření / odevzdání či podání práce: 29. 5. 2017

Zveřejnit od: 31. 12. 2999

Obhajoba závěrečné práce

• Vedoucí: Doc. RNDr. Petr Stehlík, Ph.D.

ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI

Fakulta aplikovaných věd

Bakalářský studijní program / obor:
Matematika / Matematika a finanční studia