Differential invariance and Lie theory

Christian Gustad, Ph.D.

Disertační práce

Anotace:

Abstrakt Tato práce se zabývá invarianty v různorodých kontextech. Po obecném úvodu, se první ze zahrnutých článků věnuje systematickému studiu a klasifikaci invariantních afinních nebo metrických konexí na jistých třídách přirozeně reduktivních prostorů. Pro každou nesymetrickou silně isotropně reducibilní homogenní Riemannovu varietu (M = G/K; g), spočteme dimenze prostoru invariantních metrických konexí s antisymetrickou torzí. Pro kompaktní grupu Un klasifikujeme všechny bi-invariantní metrické konexe pomocí nové třídy bi-invariantních konexí s torzemi vektorového typu. Jsou zahrnuty i ukázky aplikací. Další práce zkoumá kontaktní ekvivalence akcí 2-rozměrných Lieových algeber na varietě M s kontaktní strukturou. Konečně, třetí článek podává lokální klasifikaci 2-rozměrných řešitelných Lieových algeber v rovině. Jsou nalezeny normální formy takových akcí.

Abstract:

Abstract The results in this thesis concern invariants in diverse settings. After a general introduction, the first paper is devoted to a systematic study and classification of invariant affine or metric connections on certain classes of naturally reductive spaces. For any non-symmetric, effective, strongly isotropy irreducible homogeneous Riemannian manifold (M = G/K; g), we compute the dimensions of the spaces of G-invariant affine and metric connections. For such manifolds we also describe the space of invariant metric connections with skew-torsion. For the compact Lie group Un we classify all bi-invariant metric connections, by introducing a new family of bi-invariant connections whose torsion is of vectorial type. Some applications are given. The next paper investigates contact equivalence classes of actions of 2 dimensional Lie Algebras on a manifold M equipped with contact structure. Finally, the third paper discusses the local classification of 2-dimensional solvable Lie algebra action on the plane. Normal forms of such actions are found.

Keywords

connections, linearization, vector fields, homogenous spaces

Jazyk práce: angličtina

Datum vytvoření / odevzdání či podání práce: 10. 12. 2018

Obhajoba závěrečné práce

• Obhajoba proběhla 14. 1. 2019
• Vedoucí: prof. RNDr. Jan Slovák, DrSc.
• Oponent: prof. Dmitry Alekseevskiy, prof. Boris Kruglikov

Masarykova univerzita

Přírodovědecká fakulta

Doktorský studijní program / obor:
Matematika (čtyřleté) / Geometrie, topologie a globální analýza