\section{Základní pojmy teorie množin}

Pro zavedení pojmů množiny a náležení do množiny na úrovni středních škol se nejčastěji vychází z~intuitivní představy množiny jako libovolné skupiny prvků.  Např. učebnice~\cite{mat1} říká, že
\begin{uryv1}
množina je souhrn předmětů (objektů),
\end{uryv1}
nebo například v~literatuře~\cite{bart} je uvedeno, že
\begin{uryv1}
soubor právě těch objektů, které mají určitou vlastnost $V$,\\ se nazývá množina definovaná vlastností $V$.
\end{uryv1}
Protože naším hlavním cílem je zkoumání nekonečných množin a jejich vlastností, které se mohou jevit jako paradoxní, je tento intuitivní přístup nevhodný. Hlavním důvodem, který vedl k~opuštění tohoto přístupu a který donutil matematiky vytvořit přesnou (exaktní) definici množiny, je tzv. Russelův paradox~\cite{balc}. Jedním ze základních předpokladů teorie množin je skutečnost, že množina nemůže obsahovat sebe samu, z~čehož Bernard Russel vyvodil, že nemůže existovat množina všech množin. Pokud by \emph{skupina všech množin} byla množinou, potom by tato množina musela obsahovat sama sebe, což je v~rozporu s~tímto předpokladem\footnote{Tento paradox je také známý jako problém holiče~\cite{russ}: \emph{Holič ze Sevilly holí právě ty ze sevillských mužů, kteří se neholí sami. Kdo holí holiče?} Pokud by se holič holil sám, pak by spadal mezi ty, kteří se holí sami, tedy by pak sám sebe nesměl holit. A~naopak pokud by se sám neholil, patřil by tedy mezi takové, kteří se sami neholí, a měl by se tedy sám holit. Zamyslíme-li se nad způsobem konstrukce tohoto paradoxu, zjistíme, že je analogický ke konstrukci Russelovy \uv{množiny všech množin}.}. 

Russelův paradox donutil matematiky vyloučit \uv{extrémně velké skupiny objektů} z~teorie množin a zavést pro ně nový název \emph{třídy}. Přestože standardní SŠ definice množin vytváří intuitivně správnou představu množiny a vlastnosti náležení prvků do množiny, není pro práci s~některými soubory objektů dostatečně vhodná. Zavedení množin tak v~teoretické matematice probíhá odlišným způsobem.


Každou matematickou teorii zavádíme pomocí souboru základní pravidel (axiomů), které vytváří tzv. axiomatický systém teorie. Na počátku 20. století se objevilo několik nezávislých pokusů o~vytvoření axiomatického systému pro teorii množin. Dva v~současnosti používané jsou Zerme\mbox{lo-Fraen}kelův a Gö\mbox{del-Ber}naysův (Zerme\mbox{lo-Fraen}kelova a Gö\mbox{del-Ber}naysova teorie množin). Přestože se liší v~počtu a formulaci axiomů, teorie množin, které popisují, jsou stejně silné~\cite{soch}, dají se v~nich tedy dokázat stejná množinová tvrzení. 

Axiomy teorie množin nedefinují množinu přímo, ale pouze popisují vlastnosti množin a \emph{náležení} do množiny\footnote{V~symbolickém zápisu se užívá symbol $\in$, který vyjadřuje \emph{náležení do množiny}, neboli vlastnost \emph{být prvkem množiny}. Výraz $x\in Y$ se pak čte přirozeně \uv{$x$ náleží do množiny $Y$}. }.
Teoretické zavedení množin není v~rozporu s~naší intuitivní představou množin, ale pouze nahrazuje předchozí vágní definice. Proto není nutné úplně zavrhnout středoškolské pojetí množiny jakožto souboru prvků, ale je nutné uvědomit si omezení tohoto přístupu vyplývající z~Russelova paradoxu\footnote{Obdobně jako eukleidovská geometrie je navržena tak, že prostor kolem nás je jejím modelem, teorie množin je navržena tak, že do určité míry ji modeluje naše intuitivní představa množin (množina jako souhrn nějakých objektů). Jinak řečeno pracovat se soubory nebo souhrny jakožto množinami můžeme, ale nelze s~nimi provádět ty úkony, které nedovoluje axiomatický systém.}.

\subsection{Práce s množinami}
Existují dva základní způsoby určení množiny, přičemž v~obou případech se pro zápis užívají složené závorky $\{$ a $\}$. Prvním způsobem je určení výčtem všech prvků množiny. Tento postup je vhodný pouze pro množiny obsahující konečný počet prvků\footnote{Občas se podobného postupu používá i k~určení nekonečných množin, například $\{2, 4, 6, 8, \dots\}$ pro množinu násobků čísla $2$. Tento způsob ale předpokládá schopnost čtenáře porozumět předpisu uvedené posloupnosti a následně nacházet její další členy.}. Například zápisem $\{1, x, \heartsuit\}$ se rozumí množina obsahující právě tři prvky: $1$, $x$ a $\heartsuit$. Druhým možným způsobem je určení pomocí charakteristické vlastnosti prvků množiny. Množina určená jako
\cen{\uv{Množina všech prvků $x$, které splňují podmínku $P$}}
 se formálně zapisuje $\{x;P\}$. Například proto
\begin{itemize}
	\item Množina všech přirozených čísel větších než $1$ a menších než $5$ se zapisuje $$\{x\in\mathbb{N}; 1<x<5\}.$$ (Čte se \uv{Množina všech $x\in\mathbb{N}$, které splňují podmínku $1<x<5$.})
	\item Množina všech řešení kvadratické rovnice $x^2-3x+2=0$ se vyjádří $$\{x\in\mathbb{R}; x^2-3x+2=0\}.$$ (\uv{Množina všech $x\in\mathbb{R}$, které splňují podmínku $x^2-3x+2=0$.})
	\item Množina všech bodů ležících na kružnici o~středu $[0;0]$ a poloměru $r$ se symbolicky zapíše $$\{[x;y]\in\mathbb{R}^2; x^2+y^2=r^2\}.$$ (\uv{Množina všech $[x;y]\in\mathbb{R}^2$, které splňují podmínku $x^2+y^2=r^2$.})
	\item Množinu všech sudých přirozených čísel vyjadřuje zápis $$\{x\in\mathbb{N}; \textrm{existuje } n\in\mathbb{N} \textrm{ takové, že } 2n=x\}.$$ (\uv{Množina všech $x\in\mathbb{N}$, které splňují podmínku, že existuje $n\in\mathbb{N}$ takové, že $2n=x$.})
\end{itemize}
Je patrné, že stejnou množinu je možno zapsat různými způsoby, například $$\{x\in\mathbb{R}; x^2-3x+2=0\} = \{1, 2\},$$ ale také $$ \{1, 2\} = \{x\in\mathbb{N}; 0<x<3\}.$$ 
Pro další postup je důležité uvědomit si poznatek, že prvkem množiny může být nejen elementární prvek, ale také množina\footnote{Analogií vycházející z~praxe může být příklad s~krabicemi knih. Krabice představují množiny a knihy jednotlivé elementární prvky. Každá krabice tak může obsahovat nejen přímo knihy, ale také další krabice.}. Například prvky množiny $\{a, \{b, c\}\}$ jsou právě $a$ a množina $\{b, c\}$, původní množina $\{a, \{b, c\}\}$ je tedy dvouprvková.

\subsubsection{Prázdná množina} Nejjednodušší situace nastane, pokud množina neobsahuje žádný prvek. V~tom případě se označuje jako \emph{prázdná množina} a obvykle se značí\footnote{Jiný způsob značení je $\{\}$.} $\emptyset$.

\subsubsection{Rovnost množin} Množiny $X$ a $Y$ se rovnají právě tehdy, když obě dvě množiny obsahují shodné prvky, což se symbolicky zapisuje $X=Y$. 
$$X=Y\ \textrm{právě tehdy, když platí-li}\ x\in X,\ \textrm{pak}\ x\in Y,\ \textrm{a platí-li}\ y\in Y,\ \textrm{pak}\ y\in X.$$
Pokud se množiny nerovnají (nemají všechny prvky stejné) lze tuto skutečnost symbolicky zapsat $X\neq Y$. Jednoduchým příkladem rovnosti je $$\{x\in\mathbb{N};1<x<4\}=\{x\in\mathbb{N};1<x^2<10\},$$ neboť obě dvě množiny obsahují pouze prvky $2$ a $3$. Malá změna v~předcházejícím příkladě vytvoří z~rovnosti nerovnost $$\{x\in\mathbb{N};1\leq x<4\}\neq\{x\in\mathbb{N};1<x^2<10\},$$ protože množina na levé straně obsahuje kromě $2$ a $3$ také $1$, kterou ovšem množina na pravé straně neobsahuje.

\subsubsection{Průnik množin} Společné prvky dvou množin tvoří tzv. \emph{průnik množin}, pro množiny $X$ a $Y$ tak jejich průnik tvoří všechny prvky, které mají tu vlastnost, že náleží do $X$ i do $Y$. Symbolicky se průnik množin zapisuje $X \cap Y$.
$$X\cap Y = \{x;\ x\in X\ \textrm{a současně}\ x\in Y\}$$
Například průnikem množin  $$\{1, y, \heartsuit\} \textrm{ a } \{1, x, \heartsuit\}$$ je množina $$\{1, \heartsuit\}.$$ V~případě, že se množiny $X$ a $Y$ rovnají (mají všechny prvky shodné), je jejich průnikem celá množina $X$ respektive $Y$: 
\begin{eqnarray*}
&&X=\{x\in\mathbb{N};1<x<4\} = \{2, 3\},\\
&&Y=\{x\in\mathbb{N};1<x^2<10\}= \{2, 3\},\\
&&X\cap Y =  \{2, 3\} = X = Y.
\end{eqnarray*}
\subsubsection{Podmnožina} Nastane-li situace, že průnikem dvou množin $X$ a $Y$ je celá množina $Y$, značí to, že $Y$ je částí $X$ neboli že $Y$ je \emph{podmnožinou} $X$. O~množině $Y$ lze říci, že je \emph{podmnožinou} množiny $X$, právě pokud všechny prvky množiny $Y$ jsou také prvky množiny $X$. Tento vztah se zapisuje $Y \subseteq X$. $$Y\subseteq X,\ \textrm{pokud platí, že je-li}\ y\in Y,\ \textrm{pak}\ y\in X$$ Například pro $$Y=\{1, \heartsuit\} \textrm{ a } X=\{1, x, \heartsuit\}.$$ 
S~využitím pojmu rovnosti množin lze rozlišovat podmnožiny dvojího druhu -- vlastní a nevlastní. Pokud platí, že $Y \subseteq X$ a současně $X\neq Y$, pak se $Y$ označuje jako \emph{vlastní podmnožina}, což lze značit $Y\subset X$. Pro uvedené množiny $X=\{1, x, \heartsuit\}$ a $Y=\{1, \heartsuit\}$ platí, že $Y$ je vlastní podmnožinou $X$. V~opačném případě, kdy $Y\subseteq X$ a $X=Y$, jde o~\emph{nevlastní podmnožinu}. Pro použitou množinu $X$ je pak množina $$Z = \{1, x, \heartsuit\}$$ nevlastní podmnožinou, neboť $Z\subseteq X$, ale také $Z=X$.

Speciálním případem v~otázce podmnožin libovolné množiny $X$ je prázdná množina $\emptyset$ a celá původní množina $X$. Sama o~sobě je prázdná množina vždy podmnožinou libovolné množiny\footnote{Analogie s~krabicemi: Přeskládá-li se obsah jedné krabice do několika dalších, představují tyto krabice různé podmnožiny původní množiny. Je-li však jedna z~těchto krabice prázdná, pak také představuje podmnožinu, neboť neobsahuje nic, co neobsahovala původní krabice.}. 
Celá množina $X$ je však také podmnožinou sebe sama, jak je zmíněno výše, proto lze tvrdit, že ke každé množině (s~výjimkou prázdné množiny) lze najít alespoň dvě její podmnožiny. Podmnožinou prázdné množiny $\emptyset$ je jen $\emptyset$, ale například jednoprvková množina $\{a\}$ má podmnožiny $\emptyset$ a $\{a\}$,  
\begin{figure}[ht]
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|l|}
		\hline
		Výchozí množina&Podmnožiny\\
		\hline
		$\emptyset$&$\emptyset$\\
		$\{a\}$&$\emptyset$, $\{a\}$\\
		$\{a, b\}$&$\emptyset$, $\{a\}$, $\{b\}$, $\{a, b\}$\\
		$\{a, b, c\}$&$\emptyset$, $\{a\}$, $\{c\}$, $\{a, b\}$, \dots, $\{a, b, c\}$\\
		$\vdots$&\multicolumn{1}{c|}{$\vdots$}\\
		\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	\caption{Různé podmnožiny různých množin}
	\label{podmn}
\end{figure}

Pomocí vztahu \emph{být podmnožinou} lze však vyjádřit již uvedenou rovnost množin. Platí-li totiž $Y\subseteq X$ (množina $Y$ je částí $X$, všechny prvky množiny $Y$ jsou obsaženy v~množině $X$) a současně $X \subseteq Y$ (množina $X$ je částí $Y$, všechny prvky množiny $X$ jsou obsaženy v~množině $Y$), pak nutně musí obě množiny mít všechny prvky shodné, neboli $X=Y$. Například u~množin
\begin{eqnarray*}
&&X=\{x\in\mathbb{N};1<x<4\},\\
&&Y=\{x\in\mathbb{N};1<x^2<10\}
\end{eqnarray*}
je množina $X$ podmnožinou $Y$, neboť druhé mocniny všech přirozených čísel mezi $1$ a $4$ jsou mezi $1$ a $10$. Naopak množina $Y$ je podmnožinou $X$, protože všechna přirozená čísla, jejichž druhé mocniny jsou větší než $1$ a menší než $10$, musí být větší než $1$ a menší než $4$. Důsledkem je, že $X=Y$, což bylo uvedeno již dříve.

\subsubsection{Rozdíl množin} Další úvaha se bude zabývat prvky, jimiž se jedna množina \uv{liší} od druhé. \emph{Rozdílem množin} $X$ a $Y$ (v~tomto pořadí) se rozumí množina všech prvků, které náleží do množiny $X$ a nenáleží do množiny $Y$, jinými slovy jsou v~množině $X$ \uv{navíc}. Rozdíl množin $X$ a $Y$ tak tvoří všechny prvky $X$, které neleží v~průniku $X\cap Y$. Pro množiny $$X = \{1, a, \heartsuit\} \textrm{ a } Y=\{1, b, \heartsuit\}$$ je rozdíl $$X\setminus Y = \{a\}.$$ Průnikem oněch množin je $\{1, \heartsuit\}$, což znamená, že množinou prvků $X$, které neleží v~uvedeném průniku, je jednoprvková množina $\{a\}$.

S~rozdílem množin souvisí pojem \emph{doplněk množiny}. Jako \emph{doplněk množiny $Y$ v~množině $X$} se označuje rozdíl množin $X\setminus Y$, přičemž $Y$ je podmnožinou $X$. Toto značení vychází z~faktu, že onen doplněk tvoří spolu s~množinou $Y$ celou množinu $X$ (množinu $Y$ doplňuje na množinu $X$). Symbolicky pak tento doplněk značíme $Y'_X$. Například doplňkem množiny $Y=\{1, a\}$ v~množině $X=\{1, a, \heartsuit\}$ je množina $\{\heartsuit\}$.
\begin{figure}[h!]
	\begin{center}
	{\hspace*{\fill}
	\subfloat[Průnik množin]{\includegraphics[width=0.35\textwidth]{Pictures/venn.1}\label{mnoz_prunik}}\hfill
	\subfloat[Rozdíl množin]{\includegraphics[width=0.35\textwidth]{Pictures/venn.3}\label{mnoz_rozdil}}\hspace*{\fill}}
	\\\hspace*{\fill}
	\subfloat[Doplněk množiny v~množině]{\includegraphics[width=0.35\textwidth]{Pictures/venn.4}\label{mnoz_dopln}}\hfill
	\subfloat[Sjednocení množin]{\includegraphics[width=0.35\textwidth]{Pictures/venn.2}\label{mnoz_sjedn}}\hspace*{\fill}
	\end{center}
	\caption{Základní operace s~množinami}
	\label{mnoz_operace}
\end{figure}
\subsubsection{Sjednocení množin} Poslední klasickou operací s~množinami je jejich sjednocení. V~tom\-to případě se z~množin $X$ a $Y$ vytváří nová množina, která obsahuje všechny prvky jedné i druhé množiny. \emph{Sjednocením množin} $X$ a $Y$ se pak nazve množina, která  bude obsahovat \emph{právě všechny} prvky $X$ a \emph{právě všechny} prvky $Y$. Slovním spojení \emph{právě všechny} říká, že ona množina nebude obsahovat žádné prvky \uv{navíc} než ty, které patří buď do množiny $X$, nebo do množiny $Y$. Pro symbolický zápis užívá značky $\cup$, tedy $X\cup Y$. $$X\cup Y = \{x;\ x\in X\ \textrm{nebo}\ x\in Y\}$$Například sjednocením množin $$X=\{1, a, \heartsuit\} \textrm{ a } Y=\{1, b, \clubsuit\}$$ bude množina $$X\cup Y = \{1, a, b, \heartsuit, \clubsuit\}.$$

\subsubsection{Potenční množina} Podmnožiny libovolné množiny $X$ lze považovat za prvky určité množiny. Množina obsahující právě všechny podmnožiny množiny $X$ se nazývá \emph{potenční množina} množiny $X$. Pro označení se užívá symbolika vycházející z~tohoto názvu, $\mathcal{P}(X)$. Například potenční množinou množiny $X=\{\heartsuit, \clubsuit\}$ je $$\mathcal{P}(X)=\{\emptyset, \{\heartsuit\}, \{\clubsuit\}, \{\heartsuit, \clubsuit\}\}.$$
\begin{figure}[ht]
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|l|}
		\hline
		Výchozí množina $X$& Potenční množina $\mathcal{P}(X)$\\
		\hline
		$\emptyset$&$\{\emptyset\}$\\
		$\{a\}$&$\{\emptyset, \{a\}\}$\\
		$\{a, b\}$&$\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\}$\\
		$\{a, b, c\}$&$\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}$\\
		$\vdots$&\multicolumn{1}{c|}{$\vdots$}\\
		\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	\caption{Ukázky potenčních množin}
	\label{potmn}
\end{figure}

\subsection{Kartézský součin}
Pro definici kartézského součinu je nezbytné zavést pojem \emph{uspořádané dvojice} prvků. Libovolnou dvojici prvku lze považovat za uspořádanou, je-li jednoznačně určeno, který z~prvků je na prvním místě a který na druhém. Uspořádaná dvojice se zapisuje pomocí hranatých závorek, tedy například $[a, b]$ je dvojice prvků $a$ a $b$, kde $a$ je na prvním místě. Například dvojice $[b, a]$ není s~předchozí totožná, protože záleží na pořadí, v~jakém jsou prvky uvedeny, na rozdíl od množin, kde na pořadí nezáleží\footnote{Množina $\{a, b\}$ je totožná s~množinou $\{b, a\}$.}.

Pro dvě množiny tak lze vytvořit množinu všech uspořádaných dvojic, ve kterých je na prvním místě prvek z~první množiny a na druhém místě prvek z~druhé množiny. Tato množina se pak nazývá \emph{kartézský součin} původních dvou množin. Symbolicky se kartézský součin množin $X$ a $Y$ zapisuje $X\times Y$. $$X\times Y = \{[x, y]; x\in X\ \textrm{a současně}\ y\in Y\}$$ Zápis kartézského součinu pomocí tabulky je uveden na obrázku~\ref{kart_s} Jelikož kartézský součin je tvořen \emph{uspořádanými} dvojicemi, vždy záleží, v~jakém pořadí se s~množinami pracuje. Součin $X\times Y$ je proto jiný než $Y\times X$.
\begin{figure}[ht]
	\center
	\begin{tabular}{|c|ccc|c|c|ccc|}
	\cline{1-4}\cline{6-9}
	$X\times Y$&\multicolumn{3}{c|}{$Y = \{a, b, c\}$}&&$Y\times X$&\multicolumn{3}{c|}{$X = \{1, 2, 3\}$}\\
	\cline{1-4}\cline{6-9}
	\multirow{3}{*}{$X = \{1, 2, 3\}$}& $[1, a]$&$[1, b]$&$[1, c]$&&\multirow{3}{*}{$Y = \{a, b, c\}$}&$[a, 1]$&$[a, 2]$&$[a, 3]$\\
	& $[2, a]$&$[2, b]$&$[2, c]$&&&$[b, 1]$&$[b, 2]$&$[b, 3]$\\
	& $[3, a]$&$[3, b]$&$[3, c]$&&&$[c, 1]$&$[c, 2]$&$[c, 3]$\\
	\cline{1-4}\cline{6-9}
	\end{tabular}
	\caption[Kartézský součin množin]{Ukázka dvou různých kartézských součinů stejných množin}
	\label{kart_s}
\end{figure}

\subsection{Zobrazení}
Práce s~množinami vyžaduje alespoň základní znalost problematiky zobrazení. Zobrazení množiny $X$ do množiny $Y$ přiřazuje jednotlivým prvkům množiny $X$ prvky množiny $Y$ (vytváří vztah \emph{vzor--obraz}), přičemž každému prvku množiny $X$ je přiřazen vždy právě jeden prvek množiny $Y$. První množina se tak označuje jako \emph{množina vzorů} a druhá jako \emph{množina obrazů}\footnote{Příkladem zobrazení ve středoškolské matematice jsou reálné funkce. Zde množinu vzorů i obrazů tvoří obvykle intervaly reálných čísel (definiční obor a obor hodnot funkce), přičemž oba intervaly závisí na povaze funkce. Dalším příkladem jsou posloupnosti, ve kterých množinou vzorů jsou všechna přirozená čísla a množinou obrazů jsou čísla reálná. Přirozená čísla vyjadřují člen posloupnosti, kterému je přiřazena určitá reálná hodnota.}. Například zobrazení množiny $\{1, 2, 3\}$ do množiny $\{a, b, c\}$ znázorněné diagramem
\begin{center}
	\includegraphics[width=0.15\textwidth]{Pictures/zobr1.eps}
\end{center}
ukazuje, že obrazem prvku $1$ je prvek $b$ a naopak pro prvek $b$ je vzorem prvek $1$. Obdobně obrazem prvku $2$ je $a$ a obrazem prvku $3$ je $c$, naopak vzorem prvku $a$ je $2$ a vzorem prvku $c$ je $3$. Ovšem vztah množin vyjádřený diagramem
\begin{center}
	\includegraphics[width=0.15\textwidth]{Pictures/zobr3.eps}
\end{center}
není zobrazením neboť prvek $2$ má více než jeden obraz. 
Pro zobrazení není nutné, aby byl ke každému prvku množiny obrazů přiřazen vzor. Například následující diagram znázorňuje také zobrazení:
\begin{center}
	\includegraphics[width=0.15\textwidth]{Pictures/zobr2.eps}
\end{center}
Právě uvedené zobrazení, ve kterém každý prvek množiny obrazů má nejvýše jeden vzor, se označuje jako \emph{prosté} zobrazení množiny do množiny. Jiný typ zobrazení, v~němž jednomu obrazu přísluší více vzorů, je znázorněn na následujícím diagramu:
\begin{center}
	\includegraphics[width=0.15\textwidth]{Pictures/zobr4.eps}
\end{center}
Zobrazení, kde každý prvek množiny obrazů má alespoň jeden vzor, se označuje jako zobrazení množiny \emph{na} množinu.

Spojením obou situací (zobrazení \emph{na} a \emph{prostého} zobrazení do) vzniká \emph{vzájemně jednoznačné zobrazení} neboli \emph{bijekce}. Jelikož každému prvku množiny obrazů přísluší nejvýše jeden vzor a současně mu příslušní alespoň jeden vzor, platí, že každému prvku množiny obrazů přísluší \emph{právě jeden} vzor. Tuto podmínku splňuje již uvedené zobrazení:
\begin{center}
	\includegraphics[width=0.15\textwidth]{Pictures/zobr1.eps}
\end{center}

Jak je patrné ze zmíněné definiční podmínky vzájemně jednoznačného zobrazení, mají-li obě množiny (množina vzorů i obrazů) konečný počet prvků a existuje-li mezi nimi toto zobrazení, mají zmíněné množiny stejný počet prvků. Na tomto poznatku je postaveno další zkoumání množin, neboť je lze třídit právě na základě existence vzájemně jednoznačného zobrazení mezi nimi.

\subsection{Konečná a nekonečná množina}\label{kon_nekon_mn}
Přestože lze pojmy konečná a nekonečná množina pojímat intuitivně, například tvrzením, že 
konečná množina je taková množina, která má konečný počet prvků, 
pro potřeby axiomatické teorie množin je tento postup nedostačující, neboť samotný pojem \emph{konečnosti} je obtížně definovatelný. Proto je třeba konečnou či nekonečnou množinu definovat přímo. Nezávisle na sobě vytvořili Alfred Tarski~\cite{balc} a Richard Dedekind~\cite{blavoj} definice konečné množiny, přičemž každá z~nich je vytvořena na odlišném základě. Nekonečnou množinou se pak rozumí množina, která uvedenou definici nesplňuje.

\subsubsection{Tarského definice konečné množiny}
Tato definice se zakládá na faktu, že pro podmnožiny $A$, $B$ libovolné množiny $X$ je možné se ptát, zda $A \subseteq B$ nebo $A \supseteq B$. V~celém systému podmnožin je pak možné najít vztahy mezi jednotlivými množinami (rozumí se vztah, kdy jedna množina je podmnožinou druhé) a na základě těchto vztahů celý systém podmnožin uspořádat. Toto uspořádání se zpravidla zakresluje do diagramu, ve kterém je každá množina spojena s~množinou, ve které tvoří podmnožinu. Je stanoveno, že ony \uv{větší} množiny vždy leží nad svými podmnožinami. Jak je vidět z~obrázku~\ref{ruzne_usporadani}, pro množiny s~různým počtem prvků bude mít diagram různý tvar. Stejným způsobem lze uspořádat také libovolný podsystém původního systému podmnožin, jak pro různé podsystémy systému podmnožin tříprvkové množiny $\{a, b, c\}$ ukazuje obrázek~\ref{ruzne_podsys}.
\begin{figure}[ht]	
	\begin{center}
	\subfloat[Různé možnosti uspořádání systému podmnožin]{
		\includegraphics[width=0.7\textwidth]{Pictures/usporadani.eps}
		\label{ruzne_usporadani}}\\
	\subfloat[Různé podsystémy systému podmnožin množiny $\{a, b, c\}$]{
		\includegraphics[width=0.7\textwidth]{Pictures/ruzne_podsys.eps}
		\label{ruzne_podsys}}
	\end{center}
	\caption{Uspořádání systémů podmnožin}
	\label{usporadani}
\end{figure}
\begin{df}[Tarského definice]
Nechť $X$ je libovolná množina. Jestliže každý její systém podmnožin má v~uspořádání pomocí $\subseteq$ maximální prvek, je $X$ konečnou množinou.
\end{df}

Maximální prvek uspořádaného systému množin je množina, pro kterou v~daném systému neexistuje množina, ve které by ona množina byla vlastní podmnožinou. Jinými slovy neexistuje v~systému \uv{větší} množina. Maximální prvek daného systému může být jeden, jak je tomu u~systémů vlevo a uprostřed na obrázku~\ref{ruzne_podsys}, kde je maximálním prvkem množina $\{a, b, c\}$, ale existují systémy, ve kterých je více maximálních prvků, například na obrázku~\ref{ruzne_podsys} vpravo, kde jsou maximálními prvky množiny $\{a, b\}$ a $\{b, c\}$.

Příkladem systému podmnožin, ve kterém maximální prvek neexistuje, je následující posloupnost $k$-prvkových množin obsažená v~potenční množině množiny všech přirozených čísel $\mathbb{N}$: $$\{1\},\ \{1, 2\},\ \{1, 2, 3\},\ \{1, 2, 3, 4\},\ \dots$$ K~libovolné množině této posloupnosti lze sestavit množinu \uv{větší}, jinými slovy v~níž je ona množina podmnožinou. Množina $\mathbb{N}$ tak nesplňuje podmínku konečnosti dle Tarského definice, protože existuje systém podmnožin, který nemá maximální prvek, z~čehož vyplývá, že je \emph{nekonečná}. Důsledkem je také fakt, že libovolná množina $X$ obsahující množinu $\mathbb{N}$ je nutně také nekonečná, neboť libovolný systém podmnožin množiny $\mathbb{N}$ (mezi které patří i zmíněná posloupnost) je pak systémem podmnožin množiny $X$. Jako příklad lze uvést množiny $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ či $\mathbb{R}$ nebo $\mathbb{C}$.
\begin{figure}[ht]
	\begin{center}
			\includegraphics[width=0.6\textwidth]{Pictures/podsys_N.eps}
	\end{center}
	\caption{Nástin uspořádání podmnožin množiny $\mathbb{N}$}
	\label{podsys_N}
\end{figure}
\pagebreak
\subsubsection{Dedekindova definice konečné množiny}\label{ddd}
Na rozdíl od Tarského definice je tato definice založena zobrazení množin, konkrétně na vzájemně jednoznačném zobrazení neboli bijekci.
\begin{df}[Dedekindova definice]
Nechť $X$ je libovolná množina. $X$ je konečná množina, právě když neexistuje bijekce mezi $X$ a libovolnou její vlastní podmnožinou.
\end{df}

U~množin, které mají počet prvků daný přirozeným číslem (např. $7$, $13$, $42$), je zřejmé, že výše zmíněná bijekce zde neexistuje, neboť jejich vlastní podmnožiny mají počet prvků vždy alespoň o~$1$ menší. Jiná situace je u~množiny všech přirozených čísel $\mathbb{N}$ a množiny všech sudých čísel (značeno $D$), která je její vlastní podmnožinou. Způsob, jak jednoznačně zobrazit množinu $\mathbb{N}$ na množinu~$D$, ukazuje obrázek~\ref{bijekce_N_D} Každému číslu v~$\mathbb{N}$ (tedy každému prvku $\mathbb{N}$) je přiřazen jeho dvojnásobek a~naopak každému číslu z~$D$ je přiřazena jeho polovina. Nalezení dvojnásobku (respektive poloviny) je jednoznačné, zobrazení mezi $\mathbb{N}$ a $D$ je vzájemně jednoznačné, z~čehož vyplývá, že množina $\mathbb{N}$ je nekonečná i podle této definice.
\begin{figure}[ht]
	\begin{center}	
	\begin{tabular}{|c|c|c|}
		$\vdots$&&$\vdots$\\
		\cline{1-1}\cline{3-3}
		$7$&$\longleftrightarrow$&$14$\\
		\cline{1-1}\cline{3-3}
		$6$&$\longleftrightarrow$&$12$\\
		\cline{1-1}\cline{3-3}
		$5$&$\longleftrightarrow$&$10$\\
		\cline{1-1}\cline{3-3}
		$4$&$\longleftrightarrow$&$8$\\
		\cline{1-1}\cline{3-3}
		$3$&$\longleftrightarrow$&$6$\\
		\cline{1-1}\cline{3-3}
		$2$&$\longleftrightarrow$&$4$\\
		\cline{1-1}\cline{3-3}
		$1$&$\longleftrightarrow$&$2$\\
		\cline{1-1}\cline{3-3}
	\end{tabular}
	\end{center}
	\caption[Bijekce mezi $\mathbb{N}$ a $D$]{Bijekce mezi $\mathbb{N}$ a množinou všech sudých čísel}
	\label{bijekce_N_D}
\end{figure}

Bylo však dokázáno, že mezi uvedenými definicemi není významový rozdíl, což lze vyjádřit následovně:
\begin{tvrz}
Množina $X$ je konečnou množinou dle Tarského definice, právě když je konečnou množinou dle Dedekindovy definice.
\end{tvrz}

\subsubsection{Vlastnosti}
Pro práci s~nekonečnými množinami je třeba vyjasnit vztahy a vlastnosti definovaných konečných množin, aby nedošlo k~omylům vycházejících z~intuitivního pojetí.
První uvedená vlastnost se zabývá podmnožinami libovolné konečné množiny.
\begin{tvrz}
Nechť $X$ je konečná množina a $Y$ její libovolná podmnožina, pak $Y$ je konečnou množinou.
\end{tvrz}
Jelikož je $Y$ podmnožinou $X$, pak všechny podmnožiny množiny $Y$ jsou také podmnožinami konečné množiny $X$. Podle Tarského definice obsahuje libovolný systém podmnožin v~$X$ maximální prvek. Obsahuje ho tak i libovolný systém podmnožin množiny $Y$, což znamená, že $Y$ je konečná.

Přímým důsledkem uvedeného tvrzení je i následující.
\begin{tvrz}
Nechť $X$ a $Y$ jsou konečné množiny, pak jejich průnik $X\cap Y$ je také konečnou množinou.
\end{tvrz}
Platnost uvedeného tvrzení vyplývá z~faktu, že průnik dvou množin je částí (podmnožinou) každé z~nich. Jsou-li výchozí množiny konečné, je konečná i tato podmnožina.

Použitím Tarského definice konečné množiny lze také rozhodnout o~konečnosti sjednocení dvou konečných množin.
\begin{tvrz}
Nechť $X$ a $Y$ jsou konečné množiny, pak jejich sjednocení $X \cup Y$ je také konečnou množinou.
\end{tvrz}
Podle Tarského definice bude nutné ověřit, zda libovolný systém podmnožin vytvořeného sjednocení obsahuje maximální prvek. K~tomuto účelu byl sestrojen univerzální postup hledání maximálního prvku libovolného systému podmnožin množiny $X \cup Y$~\cite{balc}. Nechť $S$ označuje libovolný systém podmnožin množiny $X \cup Y$, například pro množiny $$X =\{a, b\},\ Y=\{1, 2, 3\}\quad\Rightarrow\quad X\cup Y= \{a, b, 1, 2, 3\}$$ může systémem $S$ být systém množin
\begin{eqnarray*}
	&&\{b, 1\},\\
	&&\{b, c, 3\},\\
	&&\{2, 3\},\\
	&&\{b, c, 1, 3\}.
\end{eqnarray*}
Prvním krokem bude výběr systému $S_1$ takových množin, které obsahují prvky z~$X$. Pro uvedený příklad to bude
\begin{eqnarray*}
	&&\{b, 1\},\\
	&&\{b, c, 3\},\\
	&&\{b, c, 1, 3\}.
\end{eqnarray*}
Následně budou ze systému $S_1$ vybrány množiny prvků z~$X$ tak, aby bylo možné vytvořit všechny množiny systému $S_1$ přidáním prvků z~$Y$. V~daném příkladě budou vybrány
\begin{eqnarray*}
	&&\{b\},\\
	&&\{b, c\}.
\end{eqnarray*}
Tyto vybrané množiny tvoří systém podmnožin v~$X$ a lze v~něm dle Tarského najít maximální množinu $z_1$. Ve zmíněném příkladě bude $z_1=\{b, c\}$. Další postup již se systémem $S_1$ nepracuje, ale vytváří nový systém $S_2$ z~původního systému $S$. Ten bude obsahovat všechny množiny systému $S$, které v~sobě obsahují všechny prvky množiny $z_1$ doplněné o~prvky z~$Y$. V~konkrétním případě
\begin{eqnarray*}
	&&\{b, c, 1\},\\
	&&\{b, c, 1, 3\}.
\end{eqnarray*}
Ze systému $S_2$ budou opět vybrány množiny prvků z~$Y$ tak, aby bylo možné vytvořit všechny množiny systému $S_2$ přidáním prvků ze $z_1$.
\begin{eqnarray*}
	&&\{1\},\\
	&&\{1, 3\}.
\end{eqnarray*}
Vybrané množiny tvoří systém podmnožin v~$Y$, existuje v~něm tak maximální množina $z_2$. V~uvedeném případě bude onou vybranou množinou $\{1, 3\}$. Množina vytvořená sjednocením $z= z_1 \cup z_2$  je maximální množinou původního systému. Výsledná množina z~příkladu je tak $\{b, c, 1, 3\}$. Celkový postup ilustruje obrázek \ref{max_sj}
\begin{figure}[ht]	
	\center
	\includegraphics[width=0.9\linewidth]{Pictures/max_sj.eps}
	\caption[Maximální prvek sjednocení konečných množin]{Postup hledání maximálního prvku sjednocení dvou konečných množin}
	\label{max_sj}
\end{figure}

Přímým důsledkem předchozího je následující skutečnost.
\begin{tvrz}
Nechť $X$ je konečná množina a $\{y\}$ libovolná jednoprvková množina, pak sjednocení $X \cup \{y\}$ je konečnou množinou.
\end{tvrz}
Význam uvedeného tvrzení spočívá v~tom, že postupným přidáváním prvků ke konečné množině (tedy po určitém počtu kroků) vznikají pouze množiny konečné. Vytvoření nekonečné množiny tak vyžaduje abstrakční skok, ve kterém je najednou provedeno nekonečně mnoho zmíněných kroků.

Poslední vlastnost ukazuje, že z~vzájemně jednoznačného zobrazení konečné množiny na libovolnou množinu lze usoudit na konečnost množiny obrazů.
\begin{tvrz}
Nechť $X$ je konečná množina a $Y$ libovolná množina. Pokud existuje vzájemně jednoznačné zobrazení mezi $X$ a $Y$, pak je $Y$ také konečnou množinou.
\end{tvrz}
Zdůvodnění se opírá o~Tarského definici konečné množiny. Pokud existuje vzájemně jednoznačné zobrazení mezi $Y$ a $X$, je možné jednoznačně zobrazit systém všech podmnožin $Y$ na systém všech podmnožin $X$, z~čehož vyplývá, že mají stejné vlastnosti. A~jelikož systém podmnožin $X$ splňuje Tarského definici, splňuje ji i systém podmnožin $Y$, množina $Y$ je tedy konečnou množinou.