Hamiltonovské vlastnosti grafů charakterizovaných pomocí zakázaných podgrafů

RNDr. Khikmat SABUROV

Disertační práce

Hamiltonian properties of graphs characterized by induced forbidden subgraphs

Abstract:

Pairs of connected graphs $X,Y$ such that a graph $G$ being 2-connected and $XY$-free implies that $G$ is Hamiltonian were characterized by Bedrossian who proved that every 2-connected $X,Y$-free graph is Hamiltonian if and only if (up to symmetry) $X=K_{1,3}$ and $Y$ is an induced subgraph of some of the graphs $\{P_6, Z_2, B_{1,2},N_{1,1,1}\}$. Using the closure concept for claw-free graphs, Ryj\' a\v cek simplified the characterization by showing that if considering the closure of $G$, the list in the Bedrossian's characterization can be reduced to one pair, namely, $K_{1,3},N_{1,1,1}$ (where $K_{i,j}$ is the complete bipartite graph, and $N_{i,j,k}$ is the graph obtained by identifying end vertices of three disjoint paths of lengths $i,j,k$ to the vertices of a triangle). In 2004, Luczak and Pfender showed that every 3-connected $K_{1,3}P_{11}$-free graph is Hamiltonian. Moreover, Luczak et al. showed an example of a non-Hamiltonian 3-connected $K_{1,3}P_{12}$-free graph. In 2008, Faudree et al. characterized pairs $X,Y$ such that $G$ being 2-connected and $XY$-free implies that $G$ has a 2-factor i.e. they proved that every 2-connected $X,Y$-free graph $G$ has a $2$-factor if and only if either $\{X,Y\}=\{K_{1,4},P_{4}\}$, or $X=K_{1,3}$ and $Y$ is an induced subgraph of some of the graphs $\{P_7,B_{1,4}, N_{1,1,3}\}$. Recently, Ryj\' a\v cek strengthened the closure concept for claw-free graphs such that the closure of a graph has stronger properties while still preserving the (non)-existence of a 2-factor. In this thesis we will show that using the 2-factor closure, the list of forbidden pairs for 2-factors can be reduced to two pairs, namely, $K_{1,4},P_{4}$ and $K_{1,3},N_{1,1,3}$. Also, in this work we proved a similar theorem to Luczak's theorem i.e. we showed that if $G$ is a 3-connected and $K_{1,3}Z_{6}$-free graph, then $G$ is Hamiltonian, and that every 3-connected claw-free graph which contains no induced copy of $B_{k,7-k} \; (k=2,3)$ is Hamiltonian.

Abstract:

Dvojice souvislých grafů $X, Y$ takových, že je-li $G$ 2-souvislý bez $X,Y$, pak je $G$ hamiltonovský, charakterizoval Bedrossian, tj. Bedrossian dokázal, že každý 2-souvislý graf bez $X,Y$ je hamiltonovský právě tehdy, když (až na symetrie) $X=K_{1,3}$ a $Y$ je indukovaný podgraf nekterého z grafů $\{P_6, Z_2, B_{1,2}, N_{1,1,1}\}$. Použitím konceptu uzávěru grafu bez $K_{1,3}$ zjednodušil Ryjáček Bedrossianovu charakterizaci na jedinou dvojici, $K(1,3)$ a $N(1,1,1)$ (kde $K(i,j)$ je úplný bipartitní graf a $N(i,j,k)$ vznikne tak, že ke každému z vrcholu trojúhelníku připojíme cestu dělky $i$, $j$, resp. $k$). V roce 2004 Luczak a Pfender dokázali, že každý 3-souvislý graf bez indukovaných podgrafů $K_{1,3}$ a $P_{11}$ je hamiltonovský. Navíc, Luczak a kol. nalezli graf, který neobsahuje indukované kopie $K_{1,3}$ ani $P_{12}$, ale není hamiltonovský. V roce 2008 Faudree a kol. charakterizovali dvojice $X,Y$ takové, že pokud graf G je 2-souvislý a bez $X,Y$, pak $G$ má 2-faktor, tj. Faudree a kol. dokázali, že každý 2-souvislý graf $G$ bez $X,Y$ má 2-faktor právě tehdy, když (až na symetrie) bud' $\{X,Y\}=\{K_{1,4},P_{4}\}$, nebo $X=K_{1,3}$ a $Y\in\{P_7, B_{1,4}, N_{1,1,3}\}$. Ryjáček později zesílil uzávěrovou operaci tak, že je při ní zachovávána (ne)existence 2-faktoru. V této práci ukážeme, že při použití této operace se množina zakázaných dvojic indukovaných podgrafů pro existenci $2$-faktoru redukuje na pouze dvě dvojice, konkrétně $K_{1,4}P_4$ a $K_{1,3}N_{1,1,3}$. V této práci jsme také dokázali, že pokud graf $G$ je 3-souvislý a bez $K_{1,3}Z_{6}$, pak je hamiltonovský, a že každý 3-souvislý graf bez $K_{1,3}$, který neobsahuje indukované kopie $B_{k ,7-k}\;(k = 2,3)$, je hamiltonovský.

Keywords

graf, hamiltonovské grafy, claw-free grafy, zakázané grafy, 2-factor, uzavěr, $2f$-uzavěr.

Jazyk práce: angličtina

Datum vytvoření / odevzdání či podání práce: 24. 6. 2011

Zveřejnit od: 1. 1. 2099

Obhajoba závěrečné práce

• Vedoucí: Prof. RNDr. Zdeněk Ryjáček, DrSc.

ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI

Fakulta aplikovaných věd

Doktorský studijní program / obor:
Aplikovaná matematika / Aplikovaná matematika