On constructions of left determined model structures

Marc Olschok, Ph.D.

Doctoral thesis

Abstract:

Prezentujeme dvě metody pro rozšíření kofibrantně generovaného slabého faktorizačního systému (L,R) v lokálně presentovatelné kategorii na modelovou strukturu (s L jako kofibracemi) tak, že třída slabých ekvivalencí je co nejmenší. Tato modelová struktura je zleva určená ve smyslu Rosický a Tholen [Left-determined model categories and universal homotopy theories, Trans. Amer. Math. Soc. 355 (2003), no. 9]. Je-li každý objekt kofibrantní, každý kartézský cylindr (vhodná funktoriální faktorizace g(x): x+x ---> Cyl(x), s(x): Cyl(x) ---> x kodiagonály taková, že g(x) v L) a každá podmnožina S ⊆L dávají podmnožinu S' s S ⊆ S' ⊆L a modelovou strukturu, jejíž třída slabé ekvivalence je nejmenší lokalizátor který obsahuje S'. Naopak, nejmenší lokalizátor (vůči L) který obsahuje množinu morfismů lze získat tímto způsobem právě tehdy, pokud obsahuje všechny s(x) některých kartézských cylindrů. Toto rozšíří odpovídající výsledky Cisinského [Théories homotopiques dans les topos, J. Pure Appl. Algebra 174 (2002) no. 1] pro (Grothendieckovy) toposy a monomorfismy jako kofibrace. Předpokládejme, že je množina I = { s(n): sphere(n-1) ---> ball(n) | n in ℕ } generujících kofibrací, získaných z morfismů a(n), b(n): ball(n) ---> ball(n+1) (n in ℕ) které splňují a(n)a(n+1) = a(n)b(n+1) a b(n)a(n+1) = b(n)b(n+1) prostřednictvím postupných fibrovaných sum od sphere(-1)=0 ---> ball(0). Je-li relativní homotopie mezi paralelními buňkami (morfismy x,y: ball(n) ---> X s s(n)x = s(n)y) tranzitivní, a pokud existuje fibrantní kocylindr (morfismy p(x), q(x): x ---> G(x) ve R se společnou sekcí), který má ''homotopickou výměnnou vlastnost'', pak existuje modelová struktura, kde slabé ekvivalence jsou morfismy, které mají relativní homotopickou liftovací vlastnost vzhledem ke všem morfismů m v I. Toto zobecňuje výsledky Lafonta, Métayera a Worytkiewicze [A folk model structure on omega-cat] pro ωCat, t.j., kategorii (striktní) omega-kategorií. Obě konstrukce mohou být indukovány na vhodných reflektivních podkategoriích. Jsou uvedeny některé příklady.

Abstract:

We present two methods for extending a cofibrantly generated weak factorization system (L,R) in a locally presentable category to a model structure (with L as cofibrations) where the class of weak equivalences is as small as possible. The model structure is then left determined in the sense of Rosický and Tholen [Left-determined model categories and universal homotopy theories, Trans. Amer. Math. Soc. 355 (2003), no. 9]. If every object is cofibrant, then any cartesian cylinder (a suitable functorial factorization g(x): x+x ---> Cyl(x), s(x): Cyl(x) ---> x of codiagonals with g(x) in L) and any subset S ⊆L give a set S' with S ⊆ S' ⊆L and a model structure whose class of weak equivalences is the smallest localizer containing S'. Conversely, the smallest localizer (with respect to L) containing a set of maps can be obtained in this way iff it contains all s(x) of some cartesian cylinder. This extends corresponding results of Cisinski [Théories homotopiques dans les topos, J. Pure Appl. Algebra 174 (2002) no. 1] for Grothendieck toposes and monomorphisms as cofibrations. Suppose there is a set I = { s(n): sphere(n-1) ---> ball(n) | n in ℕ } of generating cofibrations, obtained from maps a(n), b(n): ball(n) ---> ball(n+1) (n in ℕ) satisfying a(n)a(n+1) = a(n)b(n+1) and b(n)a(n+1) = b(n)b(n+1) via successive pushouts starting from sphere(-1)=0 ---> ball(0). If relative homotopy between parallel cells (maps x,y: ball(n) ---> X with s(n)x = s(n)y) is transitive and if there is a fibrant cocylinder (natural maps p(x), q(x): x ---> G(x) in R with a common section) that has the ''homotopy exchange property'', then there is a model structure where the weak equivalences are the maps that have the relative homotopy lifting property w.r.t. all maps in I. This generalizes results of Lafont, Métayer and Worytkiewicz [A folk model structure on omega-cat] for ωCat, the category of (strict) omega-categories. Both constructions can be induced on suitable reflective subcategories. Several examples are provided.

Keywords

locally presentable category, Quillen model category, weak factorization system, homotopy

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 25. 11. 2009

Thesis defence

• Date of defence: 12. 1. 2010
• Supervisor: prof. RNDr. Jiří Rosický, DrSc.
• Reader: Dr. Tibor Beke, dr. Boris Chorny

Masaryk University

Faculty of Science

Doctoral programme / field:
Matematics (4-years) / Algebra, Number Theory and Mathematical Logic