Sturmova teorie pro diferenciální rovnice 2. řádu a Hamiltonovské systémy

Bc. Milan Bačík

Master's thesis

Sturmian theory for second-order differential equations and Hamiltonian systems

Abstract:

In this thesis I devote myself to Sturm’s theory for scalar second order differential equations and for linear Hamiltonian systems in the first dimension. The thesis is divided into six chapters, where the first two chapters deal with Sturm’s theory (comparison and separation theorems) for scalar equation in Jacobi’s form and other chapters deal with a problem of Sturm theory for linear Hamiltonian system. What is crucial in this thesis, is that theory given in the thesis is based on the omission of the key condition of controllability, on the assumption of Legendre’s condition. This leads to a new type of zero point, called a proper focal point, for vector solutions of this system. The key theory is contained in the sixth chapter, where Sturm’s comparison and separation theorems for abnormal linear Hamiltonian systems are given, proved and demonstrated on concrete examples.

Abstract:

V tejto diplomovej práci sa venujem Sturmovej teórii pre skalárne diferenciálne rovnice druhého rádu a pre lineárne hamiltonovské systémy v prvej dimenzii. Práca je rozdelená do šiestich kapitol, z ktorých prvé dve pojednávajú o Sturmovej teórii (porovnávacie/oddeľovacie vety) pre skalárnu rovnicu v Jacobiho tvare a ostatné kapitoly sa venujú problematike Sturmovej teórii pre lineárny hamiltonovský systém. Zásadné na tejto práci je, že teória uvedená v tejto práci je postavená na vynechaní kľúčovej podmienky kontrolovateľnosti za predpokladu Legendreho podmienky, čo povedie k~vzniku nového typu nulového bodu nazývaného zovšeobecnený nulový bod pre vektorové riešenia tohto systému. Kľúčová teória je obsahom šiestej kapitoly, kde sú Sturmove porovnávacie a oddeľovacie vety pre abnormálne lineárne hamiltonovské systémy vyslovené i dokázané a demonštrované na konkrétnych príkladoch.

Keywords

Sturmova porovnávacia veta, Sturmova oddeľovacia veta, Jacobiho rovnica, Riccatiho rovnica, lineárny hamiltonovský systém, kvadratický funkcionál, zovšeobecnené nulové body, konečné vlastné hodnoty, Rayleighov princíp, oscilačná teória Sturm comparison theorem, Sturm separation theorem, Jacobi equation, Riccati equation, linear hamiltonian system, quadratic functional, generalized zeros, final eigenvalues, Rayleigh principle, oscillation theory

Language used: Slovak

Date on which the thesis was submitted / produced: 9. 1. 2013

Thesis defence

• Date of defence: 5. 2. 2013
• Supervisor: prof. RNDr. Roman Šimon Hilscher, DSc.
• Reader: doc. Mgr. Petr Zemánek, Ph.D.

Masaryk University

Faculty of Science

Master programme / field:
Mathematics / Mathematical Analysis