The Cheeger constant and applications

Petr VLACHOPULOS

Bachelor's thesis

Abstract:

The bachelor thesis "The Cheeger constant and applications" deals with the variational prolem, which is called the Cheeger problem and falls mainly into the areas of optimization theory, structures of isoperimetric problems and topology. The aim of this work is to study this geometric variational problem, to summariz the known results, applications in various mathematical-physical areas and also to derive new results within the Cheeger problem of tubular neighborhoods of smooth closed geodesics on manifolds with curvature. The first part deals mainly with general results, the mathematical origin of the Cheeger problem and its applications. Within the general concepts of geometric variational problems, the development and description of some specific topological structures are also discussed. We follow up mentioned summary by deriving new results within the Cheeger problem for sets on curved manifolds and tubular neighborhoods in higher dimensions. Which we then support by exact proofs. The new result is specified on arbitrary Riemannian manifold with zero sectional curvature. The second part of the work presents the main application of our result in the field of string theory. General apparatus of not only bosonic string theory, its topological background and the concept of action on p-branes are included. At the end of the work, we present a set of conjectures, as a combination of the above findings and our result. This provides a potential insight into the topological nature of Hamilton's variational principle and its validity, which could lie in the existence of a minimizer within the structure of the Cheeger constant of a tubular neighborhood.

Abstract:

Bakalářská práce "Cheegerova konstanta a aplikace" pojednává o variačním problému, který se nazývá Cheegerův problém a spadá především do oblastí optimalizační teorie, struktur izoperimetrických úloh a topologie. Cílem práce je studium tohoto geometrického variačního problému, shrnutí známých výsledků, aplikací v rozličných matematicko-fyzikálních oblastech a také odvození nových výsledků v rámci Cheegerova problému trubicovitých okolí hladkých uzavřených geodetik na křivých varietách. V první části práce se věnujeme především obecným výsledkům, matematickému původu Cheegerova problému a jeho aplikacím. V rámci obecných konceptů geometrických variačních problémů je zde také diskutován vývoj a popis některých specifických topologických struktur. Na shrnutí základních poznatků navazujeme odvozením nových výsledků v rámci Cheegerova problému pro množiny na křivých varietách a trubicová okolí ve vyšších dimenzích. Což následně podporujeme exaktními důkazy. Výsledek je specifikován na arbitrárně rozměrnou Riemannovskou varietu s nulovou sekční křivostí. V druhé části práce prezentujeme hlavní aplikaci našeho výsledku v oblasti teorie strun. Obsaženy jsou obecné poznatky nejen bosonické teorie strun, její topologické pozadí a koncept akce na p-bránách. V závěru práce uvádíme v existenci sadu hypotéz, jakožto kombinaci zmíněných poznatků a našeho výsledku. Což poskytuje potenciální náhled do topologické povahy Hamiltonova variačního principu a jeho platnosti, která by mohla spočívat v existenci minimalizátoru v rámci struktury Cheegerovy konstanty trubicovitého okolí.

Keywords

topologie, varieta, Riemannovská geometrie, Riemannovská varieta, isoperimetrický problém, Laplaceův-Beltramiho operátor, Cheegerův problém, variační problémy, minimalizační problémy, Sobolevův prostor, p-Laplacián, křivost, Jacobiho rovnice, Riemannovská metrika, Fermiho souřadnice, hladká geodetika, Cheegerova konstanta, Cheegerova množina, zakřivené trubice, vektorové pole, teorie strun, p-brány, bosonické struny, časoprostor, světoobjem, Fermiho souřadnice pro časoprostory, Hamiltonův variační princip

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 10. 6. 2020

Thesis defence

• Supervisor: doc. Mgr. David Krejčiřík, Ph.D., DSc.

Palacký University Olomouc

Faculty of Science

Bachelor programme / field:
Physics / General Physics and Mathematical Physics