Imperfect Randomness in Quantum Information Processing

RNDr. Matej Pivoluska, Ph.D.

Doctoral thesis

Abstract:

Náhodnosť je veľmi hodnotný zdroj v mnohých oblastiach modernej vedy. Typicky, vo väčšine aplikácií je vyžadovaná dokonalá náhodnosť -- uniformne distribuované bity nezávislé od akýchkoľvek iných dát. Tento predoklad je často využívaný pri analýze algoritmov a protokolov. Nanešťastie, je veľmi zložité dokázať už len fakt, že akýkoľvek zdroj náhodnosti je dostatočne nepredvídateľný. Požiadavka uniformnej distribúcie sa v tomto svetle zdá takmer nemožná. V dôsledku týchto úvah je dôležité zistiť, či sa dajú v aplikáciách efektívne používať slabé zdroje náhodnosti -- neuniformné náhodné procesy čiastočne nezávislé od vonkajších dát. Tento problém bol dôkladne preštudovaný v klasickom spracovaní informácie. Trochu prekvapivo, až donedávna existovalo veľmi málo šrúdií dopadu slabej náhodnosti na kvantové spracovanie informácie. V troch hlavných kapitolách tejto práce sa venujeme trom rôznym témam prepojeným spoločnou témou slabej náhodnosti v kvantovom spracovaní informácie. V kapitole 3 ukázujeme, že šifrovanie klasických správ do qbitov zvyšuje bezpečnosť kryptosystému v prípade, že tajný kľúč použitý v symetrickom šifrovaní je iba slabo náhodný. Toto je v silnom kontraste s klasickými šiframi, kde nie je možná žiadna bezpečnosť ani s relatívne silnými zdrojmi náhodnosti. V širšom zmysle tento výsledok ukazuje, že kvantové zdroje môžu pomôcť pri klasických úlohách implementovaných pomocou nedokonalej náhodnosti. V kapitole 4, naopak ukazujeme negatívny výsledok. Predstavujeme v nej útok na protokol kvantového zdieľania kľúča, ktorý využíva slabú náhodnosť v jednej fáze protokolu. Takýto útok vyžaduje iba veľmi malý vplyv útočníka na generátor náhodných čísel použitý na implementáciu protokolu. Piata kapitola ide trochu iným smerom. Ukazujeme v nej, ako sa dá extrahovať dokonalá náhodnosť so slabého zdroja za pomoci kvantových zariadení. Navyše, protokol je tzv. nezávislý na zariadeniach -- nepotrebujeme poznať presnú špecifikáciu zariadení. Toto je zaujímavý výsledok, pretože úloha extrahovania dokonalej náhodnosti s jedného zdroj aslabej náhodnosti je v klasickom prípade nemožná.

Abstract:

Randomness is a very valuable resource in many areas of modern science. Typically, in most of the applications an access to a perfect random source -- uniformly distributed bits independent of any other existing data -- is assumed. This assumption is silently hidden in the analysis of the performance of algorithms and protocols -- random number generators are assumed to produce uniform randomness. Unfortunately, it turns out to be very difficult to show that a given source of randomness is sufficiently unpredictable and adding a requirement of uniform distribution of its outputs given any other existing data seems downright impossible. Consequently, this fact raises an important question of whether or not weak random sources -- non-uniform random processes partially independent of any other data -- can be effectively used in different applications. The problems that arise when one is forced to use a weak source of randomness are well identified and have been extensively studied in classical information processing. However, up until recently there has been little analysis of the impact of weak randomness in quantum information processing (QIP). This is a surprising fact, since randomness plays a vital role in a variety of quantum protocols. In the three main chapters of this thesis we discuss three rather different topics connected by the common theme of imperfect randomness in quantum information processing. In Chapter 3 we show that implementing encryption of classical bits into qubits with pre-shared weakly random key can provide partial security. This is in sharp contrast with encryption into classical bits, where it is known that no security is possible even with weak keys of very high quality. More generally, this result shows that using quantum resources to implement classical tasks with imperfect randomness can improve the performance, as compared to classical implementations. In Chapter 4, however, we discuss a negative result. We show that security of Quantum Key Distribution (QKD) protocols is very sensitive to the quality of randomness used. We do this by presenting an attack on QKD which requires only a very limited adversarial control of randomness generator used in the protocol. Chapter 5 goes in a different direction. We show how to extract perfect randomness from imperfect randomness with the use of quantum devices. What is more, the protocol is device independent -- the precise specification of the devices doesn't need to be known. This is an interesting result, as the task of transforming a single weak source into perfect randomness is impossible with classical devices.

Keywords

Weak Randomness, Quantum Information, Device Independence, Randomness Extractors

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 18. 2. 2015

Thesis defence

• Date of defence: 3. 6. 2015
• Supervisor: prof. RNDr. Jozef Gruska, DrSc.
• Reader: prof. RNDr. Miloslav Dušek, Dr., Prof. Michal Horodecki, Assoc. Prof. Stephanie Wehner

Masaryk University

Faculty of Informatics

Doctoral programme / field:
Informatics (4-years) / Informatics