Metody parametrizace algebraických variet

Mgr. Marek BYRTUS

Advanced ('rigorózní') thesis

Parametrization methods of algebraic varieties

Abstract:

This thesis is devoted to special techniques for interpolation of planar (points and associated tangent vectors) and spatial (quadrilateral mesh of points with associated normal vectors) data. In the first theoretical part, we study Hermite interpolation by cubic Pythagorean hodograph (PH) curves. Inspired by Walton and Meek, we corrected and extended their results and described all input Hermite data for which an interpolating arc of PH cubic exists. Moreover, we analyze a number of solutions and existence of a loop on an interpolant for given data. Further, we prove that arbitrary G^1 Hermite data can be interpolated by at most two interpolating arcs of PH cubic and there are infinitely many such pairs for any input data. Finally, we focus on C^1 Hermite interpolation by PH cubic. Similarly to G^1 interpolation, any C^1 Hermite data can be interpolated by at most two arcs of PH cubics and we present a method which gives all four possible solutions. We also discuss an appearance of a loop on interpolating arcs. The second theoretical part of the thesis deals with Bubble patches as a new method for generating an interpolation G^n-surface from a quadrilateral mesh with normals. The method is based on a local construction which works uniformly for vertices of arbitrary valency. For each quadrilateral we construct a surface patch, represented by a bubble patch, in such a way that these patches are pieced together with G^n continuity. The construction of a single patch is based on Gordon-Coons interpolation. The obtained surface is piecewise rational with arbitrary smoothness and interpolates the vertices and normals. In the case of G^0, G^1 and G^2-surface, the construction is described in detail. The method can be generalized to G^n-surfaces for any n>=3. We also show different examples of obtained continuity and verify the corresponding smoothness with the help of reflection lines.

Abstract:

Disertační práce se zabývá speciálními interpolačními technikami rovinných (zadané body s tečnými vektory) a prostorových (čtyřúhelníková síť? bodů s normálovými vektory) geometrických dat. V první teoretické části práce se věnujeme Hermitově interpolaci rovinnou kubikou s Pythagorejským hodografem (PH). Práce opravuje a rozšiřuje výsledky z článku Waltona a Meeka a popisuje všechna vstupní Hermitovská data, pro které existuje PH kubický interpolant. Navíc je provedena analýza počtu a kvality (zda-li daný interpolant obsahuje samoprůnik či ne) řešení pro vstupní data. Vzhledem k tomu, že libovolná G^1 Hermitova data není možné interpolovat pouze jedním PH interpolantem, je v práci dokázáno, že libovolná vstupní G^1 data je možné vždy interpolovat dvěmi částmi PH kubiky a že těchto dvojic interpolantů existuje pro daná vstupní data nekonečně mnoho. Dále se práce zabývá C^1 Hermitovou interpolací PH kubikami a podobně jako u G^1 interpolace, libovolná C^1 data je možné interpolovat pomocí dvou oblouků PH kubiky. V závěru první části je ukázán postup, jak nalézt všechna čtyři možná řešení a je provedena diskuze ohledn" kvality každého interpolantu, tj. výskytu samoprůniku. Druhá teoretická část práce se zabývá novou G^n interpolační metodou -- Bubble plátování -- na čtyřúhelníkových sítích s asociovanými normálovými vektory. Metoda je založena na lokální konstrukci a lze ji použít pro vrcholy libovolné valence. Pro každý čtyřúhelník v síti je konstruován takový plát, že je se sousedními pláty napojen v G^n spojitosti. Konstrukce každého dílčího plátu je založena na Gordon-Coonsově interpolaci a výsledný plát má racionální popis. Pro G^0, G^1 a G^2 plochy je konstrukce popsána detailněji a odpovídající spojitost je ověřena pomocí tzv. metody ``reflection lines''.

Keywords

G^1 Hermitova interpolace, kubika s Pythagorejským hodografem, Tschirnhausenova kubika, C^1 Hermitova interpolace, Bézierova křivka, G^n plocha, Interpola"ní plocha, Bubble plát, čtyřúhelníková síť?, Gordon-Coonsova interpolace.

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 18. 5. 2012

Accessible from:: 18. 5. 2012

Thesis defence

• Date of defence: 18. 5. 2012

University of West Bohemia

Faculty of Applied Sciences

Advanced ('rigorózní řízení') programme / field:
Matematika - rigorozní řízení / Matematika - rigorozní řízení