Historie robustních matematicko-statistických metod

RNDr. Ing. Hana Kotoučková, Ph.D.

Doctoral thesis

History of Robust Statistical Methods

Abstract:

Cílem práce bylo stručně popsat, jak se začaly objevovat statistické postupy, které bychom dnes označili přízviskem robustní. Především šlo o to popsat, proč vůbec vyvstala potřeba používat nové postupy v situacích, kdy klasické statistické metody selhávaly. Nejprve jsou krátce popsány počátky samotné teorie pravděpodobnosti, kombinatoriky, demografie a pojistné matematiky. Samostatná kapitola je věnována metodě nejmenších čtverců. Metoda nejmenších čtverců nebyla jedinou možností, jak kombinovat nekonzistentní rovnice, nicméně byla nejúspěšnější. Problémem kombinování jednotlivých pozorování se zabýval kartograf Tobias Mayer, matematik Leonard Euler nebo Pierre Simon Laplace. Poněkud méně známou osobností je jezuitský kněz Roger Joseph Boscovich, který dal slovní a geometrický popis metody, která může být považována za alternativu k metodě nejmenších čtverců. Samotnou metodu nejmenších čtverců pak uveřejňuje roku 1805 Adrie Marie Legendre. Nicméně již o čtyři roky později si objev této metody přisvojuje Carl Friedrich Gauss. Gauss je spojen i se zavedením normálního rozdělení. Dlouhou dobu se předpokládalo, že většina náhodných veličin se řídí právě tímto rozdělením a již se neověřovalo, jestli se skutečně zkoumaná veličina řídí normálním rozdělením. Pokud se nejedná o normální rozdělení, jsou např. přítomny odlehlé hodnoty, klasické statistické procedury (včetně metody nejmenších čtverců) mohou selhat. Mezi jedny z prvních, kteří si tohoto faktu všimli, patří americký astronom Simon Newcomb, matematik Percy John Daniell nebo nizozemský astronom Hendrik van de Hulst. Moderní robustní metody se objevují až v druhé polovině dvacátého století. Zásadním byl z tohoto pohledu článek Petera Hubera z roku 1964 Robust Estimation of a Location Parameter. Huber zde mj. zavádí M-odhady. V letech 1970–1971 se v Princetonu konal seminář o robustních odhadech. Poznatky byly shrnuty v knize Robust Estimates of Location: Survey and Advances. Autoři zde prezentují nové robustní odhady a tyto odhady pak porovnávají mezi sebou pomocí influenční funkce a bodu selhání, které navrhl Frank Hampel. Přirozeně bylo žádoucí u robustních odhadů zjistit alespoň přibližné rozdělení pravděpodobností. Touto problematikou se zabýval např. britský statistik Henry Ellis Daniels, švýcarský statistik Frank Hampel a Kanaďan Christopher Field. Ricardo Antonio Maronna (Argentina) přišel již v roce 1976 s robustními metodami v mnohorozměrných modelech, které jsou trendem i v současnosti. Práce je zakončena pohledem na problémy a směry současné robustní statistiky.

Abstract:

The intention of this work is to give a brief description of the beginning of robust methods. My primary goal was to describe the situations, where the classical statistical procedures did not work, what was a reason for finding new methods. The first part of the Thesis briefly describes the foundation of probability theory, combinatorics, insurance mathematics and demography. The next chapter deals with the least squares method, which was the most succesful among the early methods of combining inconsistent equations. The problem of combining inconsistent equations was studied by cartographer Tobias Mayer and by mathematicians Leonard Euler and Pierre Simon Laplace. The Jesuit Roger Joseph Boscovich gave a geometric description of the method that was a predecessor of the least squares. The first publication on the least squares method was that by Adrien Marie Legendre in 1805. However, Carl Friedrich Gauss denoted himself as the author of the least squares in his book, published four years later. The name of Gauss is also connected with the introduction of the normal distribution. The normal distribution was for a long time considered as the probability distribution of most random variables. However, it turns out that the classical statistical methods (including the least squares) can fail if the random variable doesn`t come from the normal distribution, as was observed by American astronomer Simon Newcomb, English mathematician Percy John Daniell or Dutch astronomer Hendrik van de Hulst. Modern robust methods appeared in the second half of the twentieth century. In 1964 Peter Huber published the significant article Robust Estimation of a Location Parameter, introducing the M-estimators. In 1970–1971, John Wilder Tukey organized seminars on robust estimators in Princeton. Their results and conclusions the Princeton group published in the book Robust Estimates of Location: Survey and Advances. The authors studied new robust estimators and compared them by means of the influence function and the breakdown point, the concepts introduced by Frank Hampel. An important problem was to derive the probability distribution of robust estimators, at least approximatively. This problem have been solved by British statistician Henry Ellis Daniels, Swiss statistician Frank Hampel and Canadian Christopher Field. The first extension of the robust methods to multivariate models was made by Ricardo Antonia Maronna (Argentina) in 1976. The robust methods in multivariate models are the main problem of interest up to now. The final part of the Thesis briefly describes the recent trends in robust statistics.

Keywords

Robustní metody, metoda nejmenších čtverců, small sample asymptotics, Mayer, Boscovich, Laplace, Gauss, Newcomb, Hulst, Princetonská studie, Huber, Hampel, mnohorozměrné modely. Robust methods, least squares method, Princeton study, multivariate model.

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 4. 5. 2009

Thesis defence

• Date of defence: 9. 6. 2009
• Supervisor: prof. RNDr. Jana Jurečková, DrSc.
• Reader: prof. RNDr. Jan Picek, CSc., RNDr. Ivan Saxl, DrSc.

Masaryk University

Faculty of Science

Doctoral programme / field:
Matematics (4-years) / General Problems of Mathematics