Algebraicko-geometrická varianta eukleidovské konstrukce pravidelných mnohoúhelníků

Michaela Kutschkerová

Bachelor's thesis

Algebro-geometric approach to ruler-and-compass construction of regular polygons

Abstract:

Je známo relativně málo pravidelných n-úhelníků (mnohoúhelníků o n vrcholech), kde n je liché prvočíslo, které lze narýsovat pouze s využitím pravítka a kružítka, tj. jsou takzvaně eukleidovsky konstruovatelné. Které to jsou, je známo, již od dob J. C. F. Gausse, který je charakterizoval. Nejjednodušším z nich je rovnostranný trojúhelník, který umíme zkonstruovat už od základní školy. Konstrukce pravidelného pětiúhelníku je také běžně známá, v případě sedmnáctiúhelníku už to ale tak jednoduché není. U zbylých dvou n-úhelníků (pro n rovno 257, nebo 65537) je konstrukce prakticky téměř neproveditelná. Cílem práce je zrekapitulovat základní teoretické poznatky o eukleidovsky konstruovatelných pravidelných mnohoúhelnících. Dále pak jazykem algebraických struktur popíšeme soubor paralel mezi vybranými aritmetickými operacemi (mezi tzv. konstruovatelnými a přirozenými čísly) a jejich geometrickou reprezentací. Výsledkem by tedy měl být soubor jednoduchých parametrizovaných geometrických konstrukcí (geometrických mikroalgoritmů), které mi umožní konstruovat složitější algebraické výrazy. Výstup této bakalářské práce pak bude podkladem pro systém (využívající symbolické výpočty v Matlabu a geometrický software GeoGebra) pro automatické generování eukleidovských konstrukcí složitějších pravidelných mnohoúhelníků.

Abstract:

There is only a few regular n-gons (polygons with n vertices), where n is an odd prime, that can be constructed only by using ruler and compass, i.e. by using so-called Euclidean construction. It is well known which polygons can be constructed since J. C. F. Gauss, who charaterzied them. The simplest one is an equilateral triangle, that we are able to draw since elementary school. The construction of a regular pengagon is also very simple and relatively known. On the other hand, construction of regular heptadecagon starts to be really complicated. The other two n-gons (for n equal to 257, or 65537), it is practically impossible to do the construction. The goal of this thesis is to summarize the basic theoretical knowlege about regular polygons that can be drawn by using the ruler-and-compass construction. Further, by epmloying the language of algebraic sturctures, we describe a representation of selected parts of arithmetics (of so-called constructible and natural numbers) in geometry. We obtain in this way a set of simple paramatrized geometric constuctions (geometric microalgorithms), that can be used for geometric construstions of more complicated algebraic expressions. The outcome of this thesis is a base for a system (employing the symbolic calculations in Matlab and GeoGebra geometric software) for automated generating of ruler-and-compass constructions of more complicated regular polygons.

Keywords

eukleidovská konstrukce, konstrukce kružítkem a pravítkem, Wanzelova metoda, konstuovatelná čísla, pravidelné mnohoúhelníky, konstrukce pětiúhelníku, konstrukce sedmnáctiúheníku, Fermatova prvočísla

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 2. 5. 2020

Thesis defence

• Supervisor: doc. Ing. Martin Plešinger, Ph.D.

Technical University of Liberec

Faculty of Science, Humanities and Education

Bachelor programme / field:
Mathematics / MA-GE