Obstructions for graphs of low rank-depth

Bc. Tomáš Novotný

Bachelor's thesis

Abstract:

V této práci studujeme rank-depth a její vlastnosti. Rank-depth jako taková ještě nebyla publikována, je založena na myšlenkách Geelen, Oum, DeVos a spol. Zadefinujeme rank-depth a rank-depth-decomposition společně s branch-depth a branch-depth-decomposition. Tyto hloubkové míry jsou rozšířením rank-width a branch-width. Jednou z výhod rank-depth-decomposition je to, že má mnohem menší poloměr dekompozičního stromu. Také se zabýváme vertex-minor operací a jejího vztahu k rank-depth. Ukážeme, že třída grafů všech cest má neomezenou rank-depth. Pro třídy s rank-width 1 a neomezenou rank-depth ukážeme, že její grafy obsahují dlouhé cesty jako vrcholové minory. To podporuje domněnku, že třídy mají omezenou rank-depth právě tehdy, když neobsahují libovolně dlouhé cesty jako vrcholové minory.

Abstract:

In this thesis we study rank-depth and its properties. The notion of rank-depth, so far unpublished, is based on ideas of Geelen, Oum, DeVos et al. We define rank-depth and rank-depth-decomposition along with branch-depth and branch-depth-decomposition. These depth measures are extensions of rank-width and branch-width. One of the advantages of rank-depth-decompositions is that they have considerably smaller radii of decomposition trees than rank-width. We also study the vertex-minor operation and its relation to rank-depth. We show that the graph class of paths has unbounded rank-depth. For some classes of low rank-width and unbounded rank-depth we show that their graphs contain long paths as vertex-minors. This supports the overall conjecture that graph class has bounded rank-depth if and only if it does not contain arbitrarily long paths as vertex-minors.

Keywords

rank-depth, bounded rank-depth, classes of unbounded rank-depth, local complementation, vertex-minor, rank-depth-decomposition, branch-depth, branch-depth-decomposition, rank-width, rank-decomposition, branch-width, branch-decomposition, ...

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 9. 1. 2017

Thesis defence

• Date of defence: 15. 2. 2017
• Supervisor: prof. RNDr. Petr Hliněný, Ph.D.
• Reader: doc. Mgr. Jan Obdržálek, PhD.

Masaryk University

Faculty of Informatics

Bachelor programme / field:
Informatics / Mathematical Informatics